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PSI Mai 2011 MATHEMATIQUES Préparation à l'oral Planche 1 Exercice 1 : Soit E = IRn[X]. On considère l'application ? : E ? IR P 7?? ∫ 1 ?1 P (t) 1+t2dt Soient (x0, x1, · · · , xn) n + 1 réels distincts. Démontrer qu'il existe n + 1 réels uniques (a0, a1, · · · , an), tels que :?P ? E,?(P ) = n∑ k=0 akP (xk). Donner une méthode « pratique» de calcul des ai. Exercice 2 : 1) Montrer que, pour 0 < x < 1, f(x) = ∫ x 0 ln (1? t) t dt = ∫ 1 1?x ln t 1? t dt. 2) En admettant que +∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 , montrer que f ( 1 2 ) = ? +∞∑ n=1 1 2nn2 = (ln2)2 2 ? pi2 12 . 3) A l'aide du développement en série de Fourier de la fonction 2pi périodique coïnci- dant avec l'identité sur [?pi, pi], montrer le résultat précédemment admis.
Voir
- nature de la surface d'équation x2
- déterminant de la matrice ?
- a1 a1
- réelles distinctes
- déterminant égal
PSI MATHEMATIQUES
Mai 2011
PrÉparation À l’oral
Planche 1 Exercice 1: SoitE=IRn[X]. On considÈre l’application ϕ:E→IR R 1P(t) P→7−2dt −1 1+t Soient(x0, x1,∙ ∙ ∙, xn)n+ 1rÉels distincts. DÉmontrer qu’il existen+ 1rÉels uniques(a0, a1,∙ ∙ ∙, an), tels que :∀P∈E, ϕ(P) = n X akP(xk). k=0 Donner une mÉthode « pratique» de calcul desai. Exercice 2: Z Z x1 ln(1−t)lnt 1) Montrer que, pour0< x <1,f(x) =dt=dt. 0t1−x1−t +∞ +∞ X X 2 22 1π(1 1ln2)π 2) En admettant que=, montrer quef=−=−. 2n2 n26 2n2 12 n=1n=1 3) A l’aide du dÉveloppement en sÉrie de Fourier de la fonction2πpÉriodique conci-dant avec l’identitÉ sur[−π, π], montrer le rÉsultat prÉcÉdemment admis. Planche 2 Exercice 1: On dÉfinit la suite de fonctions(fn)n∈INpar : ∗ √p ∗ ∀x∈[0,1], f1(x2 + 2) =xet∀n∈fIN ,n+1(x2 +) =fn(x). 1. Etablir que :∀x∈[0,1],(fn(x))n∈INest croissante, majorÉe par 2 et minorÉe par ∗ √ 2. 2. Etablir la convergence simple de(fn(x))n∈INsur[0,1]. ∗ Z 1 dx 3. Etudier la suite(an)n∈INoÙan=r. ∗ q 0p √ 2 +2 +∙ ∙ ∙+ 2+ 2x Exercice 2: √ √ SoitPla courbe d’Équationx+y= 1. π4 4 1. Justifier qu’il existeθ∈[0,],x(= cosθ), y= sin(θ). 2 2. Montrer quey=xest un axe de symÉtrie pourP. 1 1 √ 3. Trouver une Équation cartÉsienne dePdans le repÈre(O, I, J)oÙI= 2 −1 11 etJ=. √ 2 1 4. En dÉduire nature, construction et longueur deP.
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