Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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- fiche - matière potentielle : no
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2006–2007 Fiche no 3 Ex 1. Un questionnaire comprend 20 questions et propose pour chacune d'elles k réponses dont une seule est exacte. Un étudiant reçoit ce questionnaire et le remplit au hasard ; on note X le nombre de bonnes réponses obtenues. Le questionnaire est alors corrigé et toute réponse fausse est barrée. Le questionnaire est à nouveau remis à l'étudiant qui remplace les réponses barrées par de nouvelles. On note Y le nombre de bonnes réponses obtenues au deuxième essai. 1) Quelles sont les lois de X et Y ? 2) On appelle Z le nombre total de bonnes réponses données lors des deux essais. Quelle est la loi de Z ? Correction . Dans cet exercice, on notera n := 20 le nombre de questions, et p := 1k la probabilité de répondre correctement à une question. 1) X suit une loi binomiale Bin(n, p). Pour 0 ≤ k ≤ n, on a P (Y = k) = n∑ l=0 P (Y = k|X = l)P (X = l) = · · · = Ckn(p(1 ? p)) k(1 ? p + p2)n?k, ce qui permet de conclure que Y suit une loi binomiale Bin(n, p(1 ? p)).
- événement de probabilité
- loi binomiale
- réserves finan- cières
- probabilité
- variable aléatoire
- assurances maritimes
- indépendant
- approximation poissonnienne de la loi binomiale
IPE Math 306
Université
U.F.R. de
des Sciences et
Mathématiques
Technologies de Lille
Pures et Appliquées
o
Fiche n3
Année 2006–2007
Ex 1.Un questionnaire comprend 20 questions et propose pour chacune d’ellesk
réponses dont une seule est exacte. Un étudiant reçoit ce questionnaire et le remplit
au hasard; on noteXle nombre de bonnes réponses obtenues. Le questionnaire est
alors corrigé et toute réponse fausse est barrée. Le questionnaire est à nouveau remis à
l’étudiant qui remplace les réponses barrées par de nouvelles. On noteYle nombre de
bonnes réponses obtenues au deuxième essai.
1) Quellessont les lois deXetY?
2) OnappelleZle nombre total de bonnes réponses données lors des deux essais.
Quelle est la loi deZ?
1
Correction .Dans cet exercice, on noteran:= 20le nombre de questions, etp:=la
k
probabilité de répondre correctement à une question.
1)Xsuit une loi binomialeBin(n, p).
Pour0≤k≤n, on a
n
X
k k2n−k
P(Y=k) =P(Y=k|X=l)P(X=l) =∙ ∙ ∙=C(p(1−p)) (1−p+p),
n
l=0
ce qui permet de conclure queYsuit une loi binomialeBin(n, p(1−p)).
2) Chaqueréponse a une probabilitép(1−p)d’être correcte au deuxième essai. En
effet, si on noteJi,jlal’évènement «j-ième question est jointe aui-ième essai» pour
1≤i≤2et1≤j≤nalors
c cc
)J)P(J) =p
P(J2,j) =P(J2,j∩J1,j=P(J2,j|1,j1,j(1−p),
pour tout1≤j≤n. Les réponses auxnquestions étant supposées indépendantes
indépendantes, on en déduit que la loi deYest celle du nombre de succés (ici un
succés étant une réponse correcte au deuxième essai) parmi une suite denépreuves
indépendantes ayant deux issues possibles et dont la probabilité de succés estp(1−p):
c’est donc une loi binomialeBin(n, p(1−p)). Remarquez queYpeut s’écrire sous la
P
n
ǫoù lesǫ
formeY=j=1j j=1J2,jsont des variables aléatoires indépendantes de même
loi de Bernoulli de paramètrep(1−p).
3) Onpeut trouver la loi deZ:=X+Ypar le calcul, comme à la question 2). Ou
bien on remarque queZest la variable aléatoire égale au nombre de réponses correcte
