Introduction à la physique statistique et à la physique quantique

Introduction la physique statistique et la physique quantique FrØdØric HØlein, Thierry LØvy 23 avril 20042Table des matiŁres 1 Thermodynamique classique 11 1.1 La thermodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Un exemple de systŁme : le piston . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Evolutions isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Evolution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Le second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . 23 1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Physique statistique d’un gaz rarØ Ø 29 2.1 Une description microscopique d’un gaz . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Un modŁle de billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 L’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Rappels sur la mØcanique hamiltonienne . . . . . . . . 34 2.2 Le chaos ou comment les lois du hasard interviennent dans un systŁme dØterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Premier usage des probabilitØs : les gaz diluØs . . . . . . . . . 41 2.4 ThØorie cinØtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 La distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 InterprØtation statistique de l’irrØversibilitØ . . . . . . . . . . . 49 2.6.1 Le paradoxe de Loschmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.2 Fluctuations de la densitØ d’un gaz . . . . . . . . . . . 52 2.6.3 Une premiŁre approche statistique de l’entropie . . . . 56 2.6.4 Le paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 33 MØcanique statistique avec interactions entre les particules 65 3.1 L’ensemble micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Le choix de l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 ReprØsentation d’un Øtat par une mesure . . . . . . . . 67 3.1.3 La construction d’une mesure dØcrivant l’Øtat d’Øquilibre 68 3.1.4 Existe-il d’autres mesures dØcrivant l’Øquilibre? . . . . 70 3.2 L’ergodicitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1 Flots ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2 Autres applications de l’hypothŁse ergodique . . . . . . 74 3.3 Applications du formalisme micro-canonique . . . . . . . . . . 77 3.3.1 Dynamique d’une Øvolution quasi-statique . . . . . . . 77 3.3.2 Le gaz diluØ l’Øquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.1 Entropie statistique sur des ensembles nis . . . . . . . 82 3.4.2 En d’un Øtat macroscopique . . . . . . 84 3.4.3 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 Le formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.1 L’ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.2 Identi cation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.3 RØpartition de l’Ønergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 Interactions thermodynamiques entre la lumiŁre et la ma- tiŁre 97 4.1 PrØliminaire : l’Øquipartition de l’Ønergie . . . . . . . . . . . . 97 4.2 Le problŁme du rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 La pensØe thermodynamique de Planck . . . . . . . . . 100 4.2.2 Position du problŁme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.3 Interpolation entre les lois de Rayleigh Jeans et de Wien104 4.2.4 Comprendre la loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 L’e et photoØlectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Loi de dØplacement de Wien et loi de Stefan-Boltzmann . . . . 109 4.5 Une approche combinatoire de la loi de Planck . . . . . . . . . 111 4.6 Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6.2 La jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.3 Formulation variationnelle des Øquations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 44.6.4 La lumiŁre comme oscillation du champ ØlectromagnØ- tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6.5 Les ondes ØlectromagnØtiques l’intØrieur d’une cavitØ cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 Vers la quanti cation des Øtats d’Ønergie de la matiŁre 127 5.1 Quelques ØlØments de relativitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.2 Retour aux quanta de lumiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3 Le spectre des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 L’Øquation d’Hamilton Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5 Les dØbuts de la mØcanique ondulatoire . . . . . . . . . . 149 5.6 L’Øquation de Schr dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6 L’Øquation de Schr dinger et son interprØtation 157 6.1 Du paquet d’onde l’interprØtation probabiliste de l’Øquation de Schr dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.1.1 Le paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.1.2 Une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.1.3 Le dogme de l’ Øcole de Copenhague . . . . . . . . . 164 6.1.4 Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.2.1 Une parenthŁse mathØmatique : opØrateurs auto-adjoints hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3 Le thØorŁme d’Ehrenfest et ses consØquences . . . . . . . . . . 174 6.3.1 Le thØorŁme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.3.2 InterprØtation et exemples d’applications . . . . . . . . 176 6.3.3 Un principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . 177 7 Applications de la mØcanique quantique 179 7.1 L’e et tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.1 PremiŁre mØthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.2 DeuxiŁme mØthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3 Ensembles complets d’observables qui commutent . . . . . . . 186 7.4 Le moment cinØtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.5 L’atome d’hydrogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 58 Le point de vue de Heisenberg 195 8.1 La mØcanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2 Les relations d’incertitudes d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . 195 8.3 Reformulation des principes de la mØcanique quantique . . . . 196 8.4 Le spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197b8.4.1 Fonctions propres pour L . . . . . . . . . . . . . . . . 197z 8.4.2 Retour sur le moment cinØtique angulaire . . . . . . . . 198 8.4.3 Le spin d’un Ølectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6Introduction En apparence l’essentiel des phØnomŁnes physiques dont nous avons une expØrience directe dans la vie de tous les jours obØissent des lois qui ont ØtØ formulØes il y a plus de trois siŁcles par Galileo GalilØe et Isaac New- ton (entre autres...) pour la mØcanique et au XIXŁme siŁcle par Michael Faraday et James Clerck Maxwell (encore entre autres...) pour l’Ølec- tromagnØtisme. Toute personne relativement familiŁre avec ces lois (comme vous) voit son intuition confortØe par des expØriences quotidiennes, que ce soit en conduisant sa voiture ou en observant la chute des pommes (mis part quelques phØnomŁnes un peu plus dØroutant comme par exemple le mouve- ment d’une toupie). Une des Øtapes les plus sensationnelles de l’histoire de la science fut la dØcouverte au dØbut du XXŁme siŁcle qu’ l’Øchelle micro- scopique la matiŁre se comporte d’une maniŁre profondØment di Øren te de ce que l’on pouvait prØvoir l’aide de la physique classique. Et les physiciens ont ØtØ forcØs d’admettre qu’il n’Øtait pas possible de dØcrire ce qui se passe l’Øchelle atomique en des termes intelligibles pour nous. En revanche ils ont pu construire des modŁles mathØmatiques (mØcanique quantique, thØorie quan- tique des champs) permettant des prØdictions d’une prØcision stupØ an te, mais malheureusement incapables de donner une image de ce qui se passe propre satisfaire notre intuition. Ce choc dans le monde de la physique a suscitØ de nombreux dØbats : si certains physiciens (autour de Niels Bohr) ont pr nØ une attitude pragmatique, savoir que puisque le modŁle ma- thØmatique donne des rØponses absolument conformes l’expØrience il n’y a pas lieu de chercher plus loin, d’autres scienti ques en revanche (autour d’Albert Einstein) ont objectØ qu’un certain nombre de principes qui sont postulØs dans la mØcanique quantique, relativement durs avaler (comme la probabilitØ de prØsence ou la rØduction du paquet d’onde), ne sont que des concepts provisoires, en attendant l’Ølaboration d’un modŁle satisfaisant d’avantage notre besoin de comprendre. Ajoutons que la physique quantique 7n’est pas uniquement la physique du trŁs petit et qu’aucun phØnomŁne n’Øchappe en principe ses lois, hormis la description de situations extrŒmes 33comme dans les trous noirs ou l’Øchelle de Planck (10 cm) qui nØcessite- rait l’utilisation d’une thØorie uni an t la mØcanique quantique et la thØorie de la relativitØ gØnØrale (mais cette thØorie n’existe pas encore). Simplement la plupart des phØnomŁnes macroscopiques mettent en jeu un nombre gigan- tesque d’atomes, ce qui fait qu’une partie des lois de la physique est gommØe plus grande Øchelle, et ce qu’il en reste est ce que nous nommons mØca- nique classique. Toutefois certains phØnomŁnes particuliers, dont la mise en oeuvre nØcessite une technologie sophistiquØe, comme les laser ou la supra- conductivitØ, obØissent des lois quantiques non classiques, mŒme l’Øchelle macrosco