7Chapitre 8DCOMPOSITIONS SPECTRALESDans tout ce qui suit F est un espace localement convexe,σ une intØgrale de Radon sur un espace topologique sØparØ ΛetR †bH = Hdσ une dØcomposition d un sous-espace hilbertien dans F .‡ ·bRappelons le lemme 5.12 et le thØorŁme 5.13 : σ,H est une dØcomposition de H dans° ° ° °° ° ° °† 2b bF si, et seulement si, hϕ ∈L (σ) pour tout ϕ∈F et ϕ hϕ est une semi-norme de° ° ° °ƒ 2Mackey sur F .Version du 7 septembre 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 415−→É8.1 Les opØrateurs de multiplications8.1 Les opØrateurs de multiplications‡ ·2 bLEMME Soient α :Λ K une fonction σ-mesurable et ζ∈L σ,H .‡ ·∞ 2 b(i) Si α∈L (σ),onaα•ζ∈L σ,H . ‡ ·2 b(ii) Pour tout k∈N,ona1 •ζ , 1 •α•ζ∈L σ,H .{|α|6k} {|α|6k}‡ ·2 b(iii) On a ζ=lim 1 •ζ dansL σ,H .k {|α|6k} ‡ ·2 b(iv) Si kα•ζk <∞,alorsα•ζ∈L σ,H .2∞DØmonstration de (i) Si α∈L (σ),onaZ Z∗ ∗2 2 2 2 2 2kα•ζk = kα(λ)•ζ(λ)k dσ(λ)6kαk • kζ(λ)k dσ(λ)=kαk •kζk <∞ .2 λ ∞ λ ∞ 2fl flEDfl fl∞bD aprŁs la remarque 5.12.4, il existe une suite (ζ ) de h(F) L (σ) telle que ζ=lim ζfl fl kk kk∈N‡ ·2 bdansL σ,H ; mais comme2 2 2kα•ζ −α•ζk 6kαk •kζ −ζk 0 ,k k2 ∞ 2il vient ‡ ·2 bα•ζ=lim α•ζ ∈L σ,H ,k kfl ED flfl fl∞bpuisque α•ζ ∈ h(F) L (σ) .fl flk∞DØmonstration de (ii) C est immØdiat, puisque 1 , 1 •α∈L (σ) .{|α|6k} {|α|6k}SDØmonstration de (iii) On aΛ = {|α|6k} etk∈N° ° ° °2° ° ° °1 •ζ−ζ = 1 •ζ 6kζk ∈L (σ) .{|α|6k} {|α|>k} ƒƒ ƒPuisque 1 •kζk est σ-mesurable, on obtient{|α|>k} ƒ Z° °2 2° °lim 1 •ζ−ζ =lim 1 ...
Voir