Cours 2008.2009
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RRFONCTION EXPONENTIELLE TERMINALE S ET EQUATIONS Chapitre V DIFFERENTIELLES I- -PPRESSENNTTATTIOONN DDE LLA NNOOTTIOONN DD’E’QUATTIOONN DDIFFEFRENNTTIELEL L(E( EQUA DDIFF F ))I 1- Définitionss Déf1 :o n appelleé quation ddififféérreennttieiell leteoute équation donl’tin connue est une foncti,o nsouvent désignée par la lettrye ; équation faisant intervenir fào isla la fonction s saya d,dé érrivivééee yy ( (’ ’ vvooirir llaa ddéérrivivééee sseecoonnddee yy’’ e’ et…t )) llllaaaa vvvvaaaarrrriiiiaaaabbbblllleeee .xxxx Déf2 : résoudre une équation diffréernetniteilelle lsesuurr uunn ininteerrvvaalllee , I c’est détermintero utes les fonctio dndéséf fininieiess et dérivables sur Ivé r ifiant l’équation. Ex : on considère l’équation différentie8l’l e 9: 28 – 4< – 3 > à0 résoudre sur . Alors l’inconnue est la fonction y : concrètement on cherche toutesc tlieosn fs @o nd éfinies sur qui vérifient : Pour tout< , @ ’(<) 9 2A @ (<) – 4< – 3 > 0. Vérifions que @ définie sur par @ (<) > 2< 9 BCCDEC ! GHIJDK JLJ M é NeHsJtH .solution : Rmq : il y a une infinité de fonctions solutionéq uda’u ndei ff. Le but est de trouver TOUTES les sonlsu t…io C’est une autre histoire … 2- La condition initi a le Déf3 : résoudre une équation différentielle avecccccoo oonnnnddddiiiittttiiiioooonnnn iiiinnnniiiittttiiiiaaaa,llll eeeec’est détermineLLLLrAAAA ffffoooonnnnccccttttiiiioooonnnn vvvvéééérrrriiiiffffiiiiaaaannnntttt ...
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FONCTIONEXPONENTIELLE TERMINALE SETEQUATIONSV ChapitreDIFFERENTIELLESI-PRESENTATIONDELANOTION D’EQUATION DIFFERENTIELLE( EQUA DIFF )1-DéfinitionsDéf1 :on appelleéquation différentielletoute équation dontl’inconnueestunefonction, souvent désignée par la lettrey; équation faisant intervenir à lafois la fonctiony,sa dérivée y ’( voir la dérivéesecondey’’…)etla variable x. Déf2:résoudreuneéquationdifférentiellesur un intervalle I, c’est déterminertoutes les fonctionsdéfinies et dérivables sur Ivérifiant l’équation. Ex :on considère l’équation différentielle:8’ 9 28– 4<– 3> 0. Alors l’inconnue est larésoudre sur à fonction y : concrètement on cherche toutes les fonctions@définies surqui vérifient : Pour tout(<) –4< –9 2Ā @< ,@ ’(<)3 > 0. Vérifions que@par définie sur@ (<)> 2< 9 ÇÇÉÇ! GjKjj éj. est solution : Rmq : il y a une infinité de fonctions solution d’une équa diff. Le but est de trouverTOUTES les solutions … C’est une autre histoire … 2-La condition initialeDéf3 :résoudre une équation différentielle aveccondition initiale, c’est déterminerLA fonctionvérifiantl’équation et une condition du typey(x0) > y0appelée conditioninitiale où x0et y0sont des valeurs données dans l’exercice. Rmq : dans ce cas, la solution est unique. 8’ 9 28– 4<– 3> 0 Ex : on considère l’équa diffavec condition initiale :. La condition initiale est ici donnée 8(0) > 1 par :8(0) >– 1.Alors la fonction du1-ne convient plus … Explication : Intéressons-nous plus particulièrement à une équa diff particulière découlant, entre autre, de pbs de physique ( cf. activité ) : II-YL’ETUDE DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE’ > Y AVEC Y(0) > 1( cf. activitéavecla méthoded’euler )1-Existenceetunicité delasolutionThéor-déf1:il existe une unique fonctiondéfinie etdérivablesurvérifiant l’équa diffaveccondition initiale: Û >Û Û(W) > Cette fonction est notée ( dans un premier temps )Z, appeléefonction exponentielle. Pour tout, on a> Z KZ W> .(Z )’ Preuve : l’existence est hors programme ou peut être étudiée à l’aide de suites… ( plus tard dans l’année ) En revanche,la démonstration de l’unicité est à connaître! ( - cf. feuille de cours - )
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CALCULATRICE :
2-Signe et première propriétéde la fonctionexpProp1: pour tout< ,on a :a)Z( )Ā Z( )> b)â_È é@Z ( ) ]^^_`^ !. W c) WYZ Y ).Preuve :para) c’est ce qui a été vu dans la démonstration de l’unicité. Pour rappel on introduit la fonction f définie sur fx) = exp x ) × exp – x ) puis on dérive … b) logique ! si il existait x0tel que exp x0) = 0, alors exp x0) × exp – x0ce qui contredit a) !) = 0 c) làc’est rusé ! On sait que la fonction exp est dérivable surdonc continue sur. De plus, on aexp 0 ) = 1 0. Si il existait x1tel que exp x1) < 0 , alors on pourrait appliquer le TVI entre 0 et x1: il existerait au moins un réel x0compris entre 0 et x1tel que exp x0exp x) 0.) = 0 : pas possible de ce fait : cqfd Csqce :la fonction_jest strictement croissante surpuisque _j ) ‘= _j) 0! On en reparle plus tard… ère 3-y ’ = ayProlongement aux équa diff1famille d’équations différentielles de T°S )Théor2 :. Les solutions définies sursoit adel’équation différentielle= ÛÛ ’sonttoutes lesfonctions fkdéfinies par : ô fk:où k estuneconstante réelle.Y YZ Y ) Preuve : - cf feuille de cours -Ex : résolvons l’équa diff :58 = 0.28’ –Déterminons ensuite la solution particulière f0vérifiant f00) = 3. III-PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE-NOUVELLE NOTATION1-FormulesalgébriquescaractéristiquesProp 2 :pour tous réels _È 8on a :9 ÛYZ YY ) × YZ Û )) = YZ YZ –Y )=YZ Y ) YZ Y ) YZ Y –Û )=YZ Û ) J Depluspourtout entier n,Y )= YZ YZ JY ).Preuve : - cf feuille de cours -
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x 4 3 e Ex : soit@la fonction définie par@( < )>. Justifions que@et montrons queest définie sur x 4 2 9 e 3 pour tout<réel,>@( < ).x – 4 1 9 2 e Rmq : suite à la prop2, on dit quelafonctionexponentielletransforme une somme en produit. C’est même une caractérisation des fonctions exponentielles d’où : 2-Caractérisation algébriquedes fonctions exponentiellesProp3 :les fonctions@vérifientsur qui dérivablespour tout réels) =Y K Û : Y9 Û non nulles Y ) × Û )sont les fonctionsf:Y YZY )oùaest une constante réelle.er½ Preuve :exp(ax) vérifient la formule, c’est la prop2.: ces fonctions f x1 point ¾¾| ème 2point : réciproquement, si f est non nulle telle que f(x9y) > f(x)Āf(y),alors d’une part f0) = 1 puisque f non nulle. D’autre part, on fixe y et on dérive à gauche et à droite par rapport à x : on obtient : f ’(x9y) > f(y)Āf ’(x) soit en prenant x = 0 : f’y) = f ’0)×fy) ou encore : f ’ = a×f et comme on a aussi f0) = 1 alors d’après théor2, on est sûr que fx) = kexp(ax). Puis en remplaçant dans l’égalité f(x9y) > f(x)Āf(y), on trouve k > 1. cqfd ème m9 nm n Cette propriété de la fonction exponentielle est à rapprocher des formules de 4: a= a×a :là aussi on a une transformation de somme en produit … n D’autre part, d’après la prop2, pour tout nZ, on a expn) =exp1))… n Il ne reste plus qu’à noterexp(1)>e.. On généralise alors cette notation àOn obtient alors: exp(n) > e l’ensemble des réelset on pose ce qui suit : 3-Nouvelle notationY Déf4 :pour tous x, y réels etn entier relatif, on note :YZ Y )= où e= exp1)»2,71 … à retenir … ) Y zÛ Y{Û| zY|Û z} JY Alors,_=1et_È _= _È_ = ) =_È _ =. Y Û ème Rmq: ce sont les mêmes formules que les puissances vues en 4mais au lieu d’avoir un exposant entier, ici on a un exposant réel! x e –1 Ex d’application ( tout bête … ) : montrons que la fonction f définie surpar f(x) =est impaire. Mais avant x e +1 tout, pourquoi est-elle définie sur?
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On en a fini avec les propriétés « calculatoires » ou propriétés algébriques des fonctions exponentielles. Etudions maintenant les propriétés plus « analytiques » concernant les variations, les limites … IV-ETUDE DELA FONCTIONEXPONENTIELLE1-Variationsde la fonction exponentielleProp4 :la fonction exponentielle est strictementpositive suret est strictement croissante sur. C’est ce qu’on a dit et démontré un peu plus haut … Conséquences : pour tous réels x et y on a : Y YÛ ·W 1Y 0• Y 8 Y YÛ · 1Y 0• = Y = Û Y ·X == W Y Preuve : sur feuille de cours … x² – 4– 3x Ex1 : résolvons dansl’inéquation suivante : e£e : 2x x Ex2 : résolvons dansl’équation suivante : e– 2e– 3 = 0 : 2-Limites de lafonction exponentielleen+¥et–¥Y Y Prop5 :on a :lim= +¥ etlim= 0. |x|+¥|x|–¥ Preuve : sur feuille de cours … D’où le tableau de variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle : < –¥ 0 +¥(_<( < )) + = _<(< ) +¥1 z _0
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3-Comportementau voisinage de 0x e–1 x Prop6: on a :lim=1ete»1 9 xpour x proche de 0.x||0x Preuve :la 1: c’est le taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0 ! ère ème la 2: c’est l’approximat° affine d’Euler en 0 ! La fonction exponentielle est maintenant une fonction de référence de terminale. Comparons-la aux autres fonctions de référence, en particulier aux fonctions puissances : 4-Croissancescomparéesx enxpour toN, on a :xe=0Prop7 :ut nIlim= +¥ etlim n x x||+¥x||–¥ Autrementdit,en+¥, c’est lafonction exponentielle quil’emportesurla puissance. En–¥, c’est aussilafonction exponentielle qui l’emporte sur la puissance!x Preuve :: g(x) = e– x². En étudiant ses variations, on montre que pour tout x > 1,on introduit la fonction g définie par x e x x ème e³x². De ce fait, on en déduit que+lim =¥. Puis, en posant X =, on obtient le résultat voulu. Enfin, pour la 2 x n x|+¥ limite, là encore on fait un changement de variables en posantX = – x … Cqfd Cf. détails sur feuille de cours … Rmq :onendéduit quela fonctionexponentiellecroit plusvite vers +¥quen’importe quellepuissancede x, d’où l’expression:«suivre unecroissance exponentielle …».Ex d’application : calculons les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition : 5 x f(x) = x– 2 edéfinie sur: 1/x g(x) = x edéfinie sur ] 0 ; +¥[ : u 5-Dérivéedelafonctioneu Prop8: soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors,la fonction composéeeest aussidérivable surIet : u (e)’= u’ × e. u Preuve :
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1 1/x Ex: dérivons la fonction f définie sur ] 0 ; 9¥[ par fx) =e : x² Et pour finir, étudions les différentes équations différentielles au programme de terminale en maths et physique! ) : V-LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DE TERMINALEEN MATHS1-Leséqua diffy ’ = a y(ou encore y ’–ay = 0appelées équa diff linéaires d’ordre 1 à coefs constants sans second membre)Théor2bis idem § II ):soit a. Les solutions définies surdel’équation différentielle y ’ > aysonttoutes les fonctions fkdéfinies par : ¾|¾| fk:où k est une constante réelle.ax xk e¾|¾| ½ y ’ > a y De plus,LA solution uniquedéfinie surdeest définie par : l’équa diff avec condition initialey(x0)=y0 ¾ ¾|| f: ax–x0) xy0e¾ ¾|| ½ Preuve: cf. feuille de cours. 2-Les équa diffy ’ > a y 9 b( ou encorey’–ay > bappelées équa difflinéaires d’ordre1 à coefs constantsavecsecond membre constant)Théor3 :soient a et b deux réels. Les solutions définies surdel’équation différentielley ’=ay+b sont toutes les fonctions gkdéfinies par : ¾|¾| gk:b oùk est une constante réelle. ax xk e–½¾|¾| a Dans le casdel’équadiffavec condition initiale, il y a alorsune solution unique. Preuve : Attention ! Principe à retenir !( cf. feuille de cours ) Appl directe : déterminons la solution de l’équa diff2 y’ + 3y = 6 dont la courbe représentative passe par le point –1 A: 0
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Exo type d’équationdifférentiellelinéaire d’ordre 2àcoefficients constantsavec secondmembrenonconstant: nd On considère l’équa diff(E): y’–3y = sin xmembre: équa diff dite linéaire d’ordre 1 à coefs constants avec 2 non constant. L’objectif est de déterminer toutes les solutions ATTENTION : le théorème précédent ne s’applique pas à cause de sinx … qui ne peut pas être b !!! nd a)On résoud surssociéel’équa diff s(E0)y’–3y = 0: ans2 membrea b)OndétermineunesolutionparticulièredeE): trouvons a et b tels que g définie par gx) = acos x 9 bsin xsoit solution de E) : : fsolution surde E)n su c)Ondémontrel’équivalenceÛrf – g solutiode E0). d)Onendéduittouteslessolutionsdéfinies surde (E): ND RETENIRLEPRINCIPE: LES SOLUTIONSD’UNE EQUA DIFF D’ORDRE 1 AVEC 2MEMBRE NONCONSTANT ND S’OBTIENNENTENPRENANTTOUTESLES SOLUTIONSDE L’EQUADIFF SANS 2MEMBRE AUXQUELLES ON RAJOUTE UNESOLUT° PARTICULIERE TROUVEEDANS L’EXO.nd VI-D’AUTRES EQUATIONS DIFFERENTIELLES EN PHYSIQUE( equadiff d’ordre 2 àcoefs constantssans 2membre )Théor4: soitw unréel. Les solutions définies sur del’équationdifférentielle y’’ +w²y = 0 sonttoutes les fonctionshdéfinies par : ¾ ¾|| h:où aetb sontdes constantes.xacoswx 9 b sinwx ½¾|¾| Exd’application en physique:Le dispositif solide ressort… cf. cours de physique…
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