Intro-These

Resumé detaillé du travail de thèse
Directeurs de thèse :
Gilles Christol (Univ. Paris VI)
&
Bruno Chiarellotto (Univ. Padova)
Jury de Thèse :
André Yves
Chiarellotto Bruno
Christol Gilles
Di Vizio Lucia
Oesterle Joseph
Ramis Jean-Pierre
Reversat Marc
Soutenue le 14 Juin 2006
La thèse a été preparée à l’Université de Paris sous la direction de Gilles Christol et a été
co-dirigée par Bruno Chiarellotto de l’Université de Padoue dans le cadre d’une co-tutelle.
La thèse est constituée de deux articles plus des chapitres en appendice.
Nous avons ajouté un resumé detaillé de la thèse en français
pour que le lecteur puisse mieux s’orienter.
Andrea Pulita
13 Juin 2006Resumé detaillé de la Thèse
1. Premier Article
Le premier article se propose d’expliciter, pour les caractères, la correspondence donnée par le
théorème de monodromie locale p−adique récemment demontré (cf. [And02], [Ked04], [Meb02]).
Définition 1.1. SoitK uncorpsultramétriquedecaractéristique0.NousdénotonsparR l’anneauK
“de Robba” X
iR :={f(T) := a T |a ∈K,∃ρ<1 tel que f(T)K i i
i∈Z
converge pour ρ<|T|<1} (1.1.1)
†et parE l’anneau de “Robba borné”K
†E :={f(T)∈R | sup|a|<+∞}. (1.1.2)K iK
Dans cet article nous obtenons les résultats suivants :
• Une classification complète des équations différentielles de rang un, solubles sur l’anneau de
†
RobbaR (resp. surE ), et une étude detaillée de chaque équation, à isomorphisme prés ;K K
• Une correspondence explicite entre caractères de Artin-Schreier-Witt du groupe de Galois
absolu de k((t)), et équations différentielles de rang un surR ;K
• Le calcul explicite, pour ces caractères, du foncteur de Monodromie p−adique qui associe a
††une représentation V, du groupe de Galois absolù G , un ϕ−moduleD (V) surE et park((t)) K
†conséquence une équation différentielle p−adiqueM (V) surR ;K
• Pour tout corps p−adique L de corps residuel k de caracteristique p > 0, on donne uneL
description des extensions non ramifiées cycliques de L, qui proviennent, par henselianité,
d’une extension finie séparable du corps k .L
Ces résultats passent par l’étude detaillée de la convergence/surconvergence des solutions des
équations solubles sur l’anneau de RobbaR .K
Notre travail commence par l’introduction d’une nouvelle classe d’exponentielles de type Artin-
Hasse, nommées π−exponentielles qui généralisent la bien connue exponentielle de Dwork
exp(π T) (1.1.3)0
p−1où π est une racine du polynôme X =−p. Ces exponentielles sont solutions d’équations de rang0
un solubles, et reciproquement toute solution d’une équation de rang un soluble est de ce type (après
éventuel changement de base dans le module différentiel).
Les π−exponentielles sont l’outil technique central de l’article et leur étude permet de clarifier
et de décrire très explicitement toute la théorie en rang un.
Remarque 1.2. Afin d’être simple, nous fesons dans cette introduction une suite d’hypothèses, qui
en réalité ne sont pas nécessaires. Les énoncés ne sont donc pas dans leur forme la plus générale.
Les différents définitions et les principals objets qui apparaissent dans cette introduction sont
rapélée dans les premieres chapitres de la thèse.
2000 Mathematics Subject Classification ????6
Resumé detaillé de la Thèse
2. π−exponentielles
Nous fixons une série de Lubin-Tate P(X)∈ Z [[X]] et son groupe de Lubin-Tate G . Parp P
définition la série P(X) vérifie
2 pP(X)≡wX mod X Z [[X]] , P(X)≡X mod p·Z [[X]] (2.0.1)p p
où w∈Z est une uniformisante. Le groupeG (X,Y)∈ Z [X,Y] est l’unique groupe formel pourp P p
lequel P(X) est un endomorphisme. De plus G a une structure canonique de Z−module pourP p
nlaquelle la multiplication par w est donnée par la série P(X). Les points de w −torsion deG sontP
algalors les zéros, de valuation inférieure ou égale à 1, dans une clôture algébrique Q de Q , de lap p
(n)série P (X):=P◦P◦P◦···◦P.| {z }
n fois
n alg (n)Ker(w ):={x∈Q ||x|61, P (x)=0}. (2.0.2)p
Le groupe de Tate associé aG est par définitionP
n+1 nT(G ):=lim Ker(w )−−−−−→Ker(w ) . (2.0.3)P ←− x7→P(x)
On trouve que T(G ) est un Z−module libre de rang un. Un générateur de T(G ) est une suiteP p P
(π ) compatible (i.e. P(π )=0 et P(π )=π , pour tout j>0) tel que π =0 et|π|<1.j j>0 0 j+1 j 0 0
Définition 2.1. Nous fixons un générateur π :=(π ) de T(G ).j j>0 P
pExemple 2.2. Si P(X) =X +pX, alors π est le bien connu “π de Dwork” (cf. 1.1.3).0
Proposition 2.3. Soit L un corps valué complet de caractéristique 0, qui contient les racines
m+1 mp −èmes de l’unité. Soit d = np > 1, avec (n,p) = 1, et m > 0. Soit λ := (λ ,...,λ )∈0 m
m+1
W (O ) un vecteur de Witt. Soit φ=(φ ,...,φ )∈(O ) son vecteur fantôme, i.e.m L 0 m L
j j−1p p jφ :=λ +pλ +···+p λ .j j0 1
Alors, la serie formelle (nommée π−exponentielle) mnp npT Tne (λ,T):=exp π φ T +π φ +···+π φ (2.3.1)d m 0 m−1 1 0 m mp p
converge pour|T| < 1. De plus, elle est surconvergente (i.e. converge pour|T| < 1+ε, avec ε > 0)
si et seulement si|λ|<1, pour tout i=0,··· ,m.i
En particulier, la série
m+1p m+1e (λ,T) =e (p ·λ,T), (2.3.2)d d
est toujours surconvergente.
Exemple 2.4. Pour m=0 et n=1 (i.e. d=1), on trouve
e (λ ,T) =exp(π λ T), (2.4.1)1 0 0 0
p pe (λ ,T) =exp(π λ T) =exp(π pλ T). (2.4.2)1 0 0 0 0 0
Dansl’articleontrouveuneétudedétailléedel’équationdifféréntiellesatisfaiteparuneπ−exponentielle.
−1
Proposition 2.5. L’équation différentielle satisfaite par e (λ,T ) estd
m−1 X ∂ (e (λ,T )) jT d −npL (λ):=∂ − =∂ +n· π ·φ ·T . (2.5.1)d T T m−j j−1e (λ,T )d
j=0
3O
O
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O
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/
O
O
6
O
/
dOu ∂ = T . On définit s,r 6 m respectivement par φ =hφ ,...,φ ,0,...,0i, avec φ = 0, etT 0 s sdT
λ = (λ ,...,λ ), avec|λ|,...,|λ | < 1 et|λ| = 1. Par convention, si|λ| < 1 pour tout i, on0 m 0 r−1 r i
pose r =∞. Alors :
−1– L’opérateur L (λ) est trivial surR (i.e. e (λ,T )∈R ) si et seulement si r =∞, (i.e.d K d K
|λ|,...,|λ |<1).0 m
m−s s– Plus précisement l’irrégularité formelle de L (λ) est égale a d/p = np et l’irregularitéd
r m−rp−adique est égale à d/p =np .
Voici le graphe logarithmique de la fonction
ρ7→Ray(L (λ),ρ)/ρ (2.5.2)d
où Ray(L (λ),ρ) est la rayon de convergence générique en ρ de L (λ) :d d
log(Ray(M,ρ))6
log(ρ)
0← ρ -iXXX r m−rirregularité p−adique= d/p = np

iHH m−s s irregularité formelle = d/p = np
• Dans les notations précédentes, soit k le corps residuel de L. Soit ϕ:O →O un FrobeniusL L L
qui réleve la puissancep−ème dek . Nous dénotons encore parϕ:W(O )→W(O ) le morphismeL L L
d’anneau déduit par fonctorialité.
La proposition suivante dépend fortement de la théorie de Lubin-Tate :
Proposition 2.6. Pour tout λ∈W(O ), la série formelleL
pe (ϕ(λ),T )d
θ (λ,T):= (2.6.1)d e (λ,T)d best surconvergente si et seulement si le groupeG est isomorphe au groupe multiplicatif formelG .P m
Dans ce cas, on peut considérer sa valeur en 1.
Exemple 2.7. Pour d=1 on trouve
pθ (λ ,T)=exp(π (ϕ(λ )T −λ T)). (2.7.1)1 0 0 0 0
pEn particulier, si P(X)=X +pX (i.e. π est le π de Dwork), alors on retrouve la bien connue0
“splitting function” de Dwork (cf. [Dwo62,§4,a)])
pθ (1,T)=exp(π (T −T)). (2.7.2)1 0
3. Une déformation du complexe de Artin-Schreier-Witt dans le complexe de KummerbDorénavant nous supposerons queG est isomorphe àG . Ceci révient a demander que w=p.P m
Les théories de Artin-Schreier-Witt et de Kummer consistent dans la donnée de deux complexes
qui calculent la cohomologie galoisienne.
m+1
px→x
G (L) G (L)char 0 0 0 Kummerm m
eθ
char p W (k ) W (k )0 0 Artin-Schreierm L m L
F−1
4
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O
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O

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Resumé detaillé de la Thèse
Le théorème suivant “déforme” le complexe de Artin-Schreier-Witt dans celui de Kummer. Les
applications qui déforment un complexe dans l’autre sont la valeur en T = 1 des π−exponentielles
m+1p
m msurconvergents θ (−,T) et e (−,T) .p p
Ce théorème constitue l’analogue d’une partie de la théorie de Sekigichi-Suwa (cf. [SS94]).
sep ϕ=1alg ϕThéorème 3.1. Posons G := Gal(L /L), G := Gal(k /k ) etO :={a∈O | a = a}.L k L LL L L
On a un diagramme commutatif
δKum 11→μ × ×m