[tel-00002171, v1] Étude de la stabilité de systèmes dynamiques quantiques

Table des matieres
Introduction viii
1 Generalites 1
1.1 Critere principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Une caracterisation dynamique de la composante absolument continue . . . 5
1.4 Operateurs de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Op unitaires multi-diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Quelques mots sur l’hamiltonien de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Operateurs frappes 13
2.1 An explicitly solvable model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Additional assumptions and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Proof of Theorem 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 A a vour of analytic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Technicalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Proofs of Theorems 2.2.4 and 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Complementary tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Proof of Theorem 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Proof of 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Sur un modele de conduction electronique unidimensionnel 31
3.1 Construction de l’operateur de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Quelques lemmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Les cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Absence de transitions entre bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Absence de re exion en bords de bandes . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Etudes des fonctions propres generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Introduction du formalisme des matrices de transfert . . . . . . . . . 38
3.5 Perspectives d’etudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Exemples de constructions fondees sur des systemes ergodiques 43
4.1 Hypotheses et resultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Transformations et systemes dynamiques ergodiques . . . . . . . . . 44
iii
tel-00002171, version 1 - 18 Dec 20024.2.2 Un jumelage fructueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Questions de mesurabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Preuve du theoreme 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Constructions de systemes dynamiques ergodiques lineaires . . . . . 49
4.3.2 Theoreme multiplicatif ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3 Exposant de Lyapunov et preuve du theoreme 4.1.1 . . . . . . . . . 55
4.4 Positivite de l’exposant de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571;[1]
4.5 Pe de l’exposant de Lyv . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601;[3]
4.6 Preuve du theoreme 4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Remarques complementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.1 Quelques mots sur l’invariance du support spectral . . . . . . . . . . 61
4.7.2 En suivant Gordon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Cas periodique 63
5.1 Hypotheses et resultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Quelques mots sur la theorie de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Preuve du theoreme 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Cas ou la periodicite est 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Cas ou la periodicite est superieure a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Preuve du theoreme 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1 Absence de composante singuliere continue . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Intervention des matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A Fonctions propres generalisees et spectre d’un operateur unitaire 81
A.1 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.2 Construction de Berezanskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.3 Preuve du theoreme A.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Sur une classe d’operateurs unitaires a spectre singulier 89
C Sur les perturbations d’operateurs unitaires 93
C.1 P d’un operateur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.2 Supports de mesure: materiel preparatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.3 Application aux operateurs frappes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
iv
tel-00002171, version 1 - 18 Dec 2002A la memoire de Mamie,
v
tel-00002171, version 1 - 18 Dec 2002vi
tel-00002171, version 1 - 18 Dec 2002Remerciements
Je souhaite remercier Alain Joye et Joachim Asch de m’avoir accompagne, suivi mais
aussi guide tout au long de ces annees de doctorat. Leur gentillesse, leur patience et leur
esprit critique ont enormement contribue a creer un climat de travail chaleureux, sain et
stimulant a la fois. La con ance qu’ils m’ont accordee depuis mon DEA m’a permis de
transformer un voeu cher en realite.
Monique Combescure et Stephan DeBievre ont accepte d’^etre les rapporteurs d’un
manuscrit perfectible a bien des egards. Les delais impartis ne leur ont d’ailleurs pas
facilite la t^ache. Je leur suis reconnaissant pour leur lecture meticuleuse et leurs conseils,
donnes parfois avec humour, qui m’ont aide a mettre en valeur mon propre travail.
J’ai egalement appris avec plaisir que Pierre Duclos et Yves Colin de Verdiere avaient
accepte de faire parti du jury de cette soutenance. Je leur suis redevable de nombreuses
discussions enrichissantes et agreables.
La vie est parfois faite de ces petits riens qui vous empoisonnent l’existence. J’ai tou-
jours trouve a l’Institut Fourier une ame^ pr^ete a ecouter et m’aider. Je pense en parti-
culier a Arlette, Elisabeth, Corinne et Fran coise, aux membres de l’equipe de Physique
Mathematique de l’Institut Fourier, a Janick, Christiane et Bruno, a Christophe pour son
soutien inconditionnel, mais aussi aux locataires et aux visiteurs presents et passes du
bureau 209. Je suis tout particulierement redevable a Vidian, Yan, Vincent, Christophe,
San et Nicolas de m’avoir epaule a diverses reprises, parfois jusqu’au dernier moment dans
le long et fastidieux processus de correction du manuscrit.
Mes remerciements s’adressent egalement aux membres du Centre de Physique Theori-
que a Marseille et de l’equipe PHYMAT de l’Universite de Toulon pour m’avoir accueilli
a plusieurs reprises durant cette these, m’avoir fait partager leurs connaissances et leur
gout^ pour la physique mathematique.
Ce travail s’inscrit dans la continuite de problematiques auxquelles s’est interesse James
Howland. Le developpement d’une partie de ce travail doit beaucoup aux discussions sti-
mulantes que nous avons pu avoir lors de mon sejour a l’Universite de la Virginie, a
Charlottesville et lors de sa venue en France. Avec gentillesse et generosite, Hope et James
Howland m’ont fait decouvrir un petit morceau des Etats-Unis bien eloigne de certains
cliches vehicules a l’heure actuelle.
Ce travail est d’une certaine fa con le fruit de la patience, de la con ance et de l’amour
que m’ont porte mes proches. Il sera la marque de ma reconnaissance envers eux tous.
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tel-00002171, version 1 - 18 Dec 2002Introduction
L’etude du comportement temporel des systemes dynamiques quantiques est en plein
essor depuis les annees 80. La question, motivee par quelques experiences physiques frap-
pantes ([BGK], [YA], [Bar], [BS], . .. ) est encore largement ouverte. L’analyse et les moyens
utilises pour resoudre les problemes poses empruntent autant a la physique des solides, la
physique moleculaire qu’aux mathematiques. Du point de vue mathematique, il n’existe
pas encore de cadre uni e.
Formellement, la dynamique d’un systeme quantique est decrite par la solution de
l’equation de Schr odinger attachee a une famille d’operateurs auto-adjoints (H(t))t2R
de nis sur un sous-espace dense D d’un espace de Hilbert separable H et donnee par:
2pour tout (t;s)2R ;
i@ (t;s) =H(t) (t;s) ; (s;s)2D :t
L’espaceH est aussi appele espace des etats du systeme quantique et la famille (H(t))t2R
l’hamiltonien du systeme. La conservation de la norme hilbertienne de la solution au cours
2du temps est une particularite de ces sytemes :8(t;s)2R ,k (t;s)k =k (s;s)k.
Il existe essentiellement deux manieres d’envisager l’etude du comportement d’un
systeme quantique au cours du temps et de de nir ses eventuelles proprietes de stabi-
lite.
La premiere approche consiste a formuler le probleme en terme de localisation dyna-
mique. Ayant convenablement choisi un operateur auto-ad