Signaux stationnaires et estimation spectrale
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Signaux stationnaires et estimation spectrale
Signaux stationnaires au second ordre
´ ´Prediction lineaire
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
Periodogramme´ et estimation spectrale
Modelisation´ AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 1 Signaux stationnaires au second ordre
3 Six trajectoires
0
(de longueur
−3
200) pour
3
0 quatre modeles`
−3
de ser´ ies
3
temporelles
0
stationnaires−3
3 (avec
0 EX = 0,t
−3
(0) = 1) :
3
(i) sinuso¨ıde0
−3 `a amplitude et
3 phase aleatoire´
0
(dist. exp.
−3
50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200
et uniforme dans
[0,2 ]), (ii) bruit blanc (gaussien), (iii) AR(1) (gaussien), (iv) chaıne de Markov a` deux etats´ observee´ˆ
dans du bruit (gaussien)
2 Signaux stationnaires au second ordre
Prediction´ lineaire´
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
´Periodogramme et estimation spectrale
´Modelisation AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 3 ´ ´Prediction lineaire
2Espace de HilbertL (P)
Les variables aleatoires´ d’esper´ ance nulle et de variance finie peuvent etreˆ munies
d’une structure d’espace de Hilbert dans laquelle
1. hX,Yi = E(XY) definit´ un produit scalaire :
(a) hX,Yi =hY,Xi
(b) h X + Y,Zi = hX,Zi+ hY,Zi
(c) hX,Xi 0 (ethX,Xi = 0 impliqueX = 0 avec probabilite´ 1)
2. Les suites de Cauchy telles quekX X k→ 0 quandn,m→∞n m
2
convergent dansL (P) ...
Voir
Signaux stationnaires au second ordre
´ ´Prediction lineaire
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
Periodogramme´ et estimation spectrale
Modelisation´ AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 1 Signaux stationnaires au second ordre
3 Six trajectoires
0
(de longueur
−3
200) pour
3
0 quatre modeles`
−3
de ser´ ies
3
temporelles
0
stationnaires−3
3 (avec
0 EX = 0,t
−3
(0) = 1) :
3
(i) sinuso¨ıde0
−3 `a amplitude et
3 phase aleatoire´
0
(dist. exp.
−3
50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200
et uniforme dans
[0,2 ]), (ii) bruit blanc (gaussien), (iii) AR(1) (gaussien), (iv) chaıne de Markov a` deux etats´ observee´ˆ
dans du bruit (gaussien)
2 Signaux stationnaires au second ordre
Prediction´ lineaire´
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
´Periodogramme et estimation spectrale
´Modelisation AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 3 ´ ´Prediction lineaire
2Espace de HilbertL (P)
Les variables aleatoires´ d’esper´ ance nulle et de variance finie peuvent etreˆ munies
d’une structure d’espace de Hilbert dans laquelle
1. hX,Yi = E(XY) definit´ un produit scalaire :
(a) hX,Yi =hY,Xi
(b) h X + Y,Zi = hX,Zi+ hY,Zi
(c) hX,Xi 0 (ethX,Xi = 0 impliqueX = 0 avec probabilite´ 1)
2. Les suites de Cauchy telles quekX X k→ 0 quandn,m→∞n m
2
convergent dansL (P) ...
Signaux stationnaires et estimation spectrale
•Signaux stationnaires au second ordre •ePr´itnodeciaeriil´n •Bases de l’estimation statistique •Estimation de la moyenne et de l’autocovariance •eltcarsneptaoiPire´teeeimstogodmmra •MARtionlisaod´e
•Esunisednoitamitsseet´uibresdo¨
OlivierCapp´e,DEAATIAM(version2.2)
1
•Signaux stationnaires au second ordre
Six trajectoires
(de longueur
200) pour
quatremode les
de se´ ries
temporelles
stationnaires
(avec
EXt= 0,
γ(0) = 1) :
(i)¨denusosi
a amplitude et
phase ale´ atoire
(dist. exp.
et uniforme dans
[0,2π]),(ii)bruit blanc (gaussien),(ii)iAR(1) (gaussien),(iv)chn‹aMedeokrada vre´vossbtetaue´xee
dans du bruit (gaussien)
2
•Signaux stationnaires au second ordre •ciitnoil´naeriePr´ed •Bases de l’estimation statistique •Estimation de la moyenne et de l’autocovariance •areloisneptcstteatimraogeemme´Pdoir •onAR´elisatiMdo
•esinuEssot¨imationd´teesdserbiu
OlivierCapp´e,DEAATIAM(version2.2)
3
•rPe´idtcionlin´eaire
Espace de HilbertL2(P)
Lesvariablesal´eatoiresd'espe´rancenulleetdevarianceniepeuvente‹tremunies d'une structure d'espace de Hilbertdans laquelle
1.hX, Yi= E(XY)utn´deinproduit scalaire: (a)hX, Yi=hX,Yi (b)hαX+βY,Zi=αhX, Zi+βhYZ,i (c)hX, Xi ≥0(ethX, Xi= 0impliqueX= 0 1)avec probabilite´
2. Lessuites de Cauchytelles quekXn−Xmk →0quandn, m→ ∞ convergent dansL2(P)(cdee´utmolpo u),kkci´eassoosrigmneelda´neaeu produit scalaire parkXkd=efphX, Xi=pE(X)2
Ine´galit´edeCauchy-Schwarz|hX, Yi| ≤ kXkkYk
Continuit´eduproduitscalaireetdelanorme • hXn, Yi → hX, Yi • kXnk → kXk
SiXn
→X(ie.kX−Xnk →0),
4
• line´ airePre´ diction Pre´dictionlin´eaire
Deuxconceptse´quivalents
•Projection orthogonale dansL2(P)
•valaanrideceerl’ruerrpedide´oitcn)edicPr´deisavs vie(alimtpoeriae´nilnoit
p p min E[(Y− ϕ1,...,ϕpkX=1ϕkXk)2]⇐⇒E[(Y−kX=1ϕkXk)X`] = 0 (1≤`≤p) b SiY=Ppk=1ϕkXkd−icusselboreme ons,atl'uesseloinuqanputuoi E[(b2E(Y2)−E(Y Yb) = E(Y2)−E(Yˆ2) Y−Y) ] =
Remarque 1 : SiE(Y)6= 0,minϕE[(Y−ϕ×1)2]a pour solutionϕ= E(Y) Remarque 2:Ybest unique(dansL2(P))mais la combinaison line´ aireϕ1, . . . , ϕp ne l'est que si les variablesX1, . . . Xpostnlfibiersuansseuo E[(Ppk=1αkXk)2] = 0uniquement lorsqueα1=. . . αp= 0
5
•Pre´ diction aire line´
Applicationaus´erieschronologiques
Pre´ diction deXten fonction deXt−1, . . . Xt−papar estirdsnoitauq´eed Yule-Walker
p p 0 =E[(Xt−XϕkXt−k)Xt−`] =γ(`)−Xϕkγ(k−`) k=1k=1
soit sous forme matricielle γ(0)γ(1) γ(1)γ(0) .
avec
γ(p−1)
γ(p−2)
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
1≤`≤p
γ(p−1) ϕ1 γ(1) γ(p−2)ϕ2γ(2) = γ(0)ϕ.p γ(.p)
p p σ2 d=efE[(Xt−XϕkXt−k)2] =γ(0)−Xϕkγ(k) k=1k=1
6
•P´rdeciitnoil´neaire
Algorithme de Levinson-Durbin
Ilestpossibled'´evaluer,ruis´rcentenvemep, les coefcientsϕp,1a ϕp,pdu predicteur d'ordrep(ainsi queσp2= E[(Xt−Ppk=1ϕp,kXt−k)2]) ´
Initialisation
Pourp≥2
ϕp,p
ϕp,j
ϕ1,1 σ2 1
= =
γ(1)/γ(0) γ(0)−ϕ1,1γ(1)
=σp−−12γ(p)−jp=X−11ϕp−1,jγ(p−j) =ϕp−1,j−ϕp,pϕp−1,p−jpour1≤j≤p−1
σp2=σp2−1(1−ϕ2p,p)
(1)
(2)
7
•ctdi´ePr´einnlioiaer
Pre´dictiond’unsignalr´eel
Signal :Hz.512aned'hslitableacurBemti´rushantillonn´e a55'dnuveiouter´,ce
Signalet, de haut en bas,uerreiondictpr´ersdepuorp= 1,2,3et
rougeestdivis´epar5.
4sebrneedeluocs´el'elchntten,io.tA
Remarque:Icilafonctiond'autocovariancea´et´eestim´eea partirdusignalcomplet...
8
•Signaux stationnaires au second ordre •dictPr´enie´oilniaer •Bases de l’estimation statistique •Estimation de la moyenne et de l’autocovariance •timationammeetesreoiodrg´Pelartceps •RnAioatisle´doM
•esit´esbru¨edunosedisitnomatiEs
Olivier Cappe´ , DEA ATIAM (version 2.2)
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•Bases de l’estimation statistique
Concepts de base
Mode lestatistique´tesnededellimaFlibibaroepsd´eitpn,θ ant les id ´rvationsobse ecr v X1:n= (X1, . . . Xn), indexe´ es par unetrerpaam θ(les observations sont desvariablesale´atoires,dontlaloide´pendd'unparame trede´terministe)
Mode le parame´ triqueθxepn,θ exemple :X1:nIID de loiN(0, θ)
Mode lesemi-parame´triqueθsdueeire´qitsacsetcartainecerxequnepn,θ exemple :X1:nextrait d'un bruit blanc au second ordre avecγX(0) =θ
b EstimateurtioncnoFθnnirunnocedeuppaachrolaerlevasnedtaoie´ etsnidservesob θ atoire)(l'estimateur est une variable ale´ exemple :θbn=n1Pni=1Xi2
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•Bases de l’estimation statistique
Evaluation des estimateurs b Biaisbn(θ) = Eθ[θn−θ] Variancevn(θ) = var( bb b2 θn) = Eθ[(θn−E(θn)) ] Risque quadratiquern(θ) = Eθ[(θ−θbn)2] =bn(θ)2+vn(θ)
Exemple : Mode le IID de de´ calage X1, . . . Xnsontinde´ pendants et identiquement distribue´(IID) de loi p1,θ=p(x−θ)(psyme´ trique), on noteσ2= varθ[X1]. b1 1.θnnPni=1Xiest un estimateur non biaise´ = 2.rn(θ) =vn(θ) =1σ2 n
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