Oral de mathématiques des grandes écoles, 250 exercices corrigés et commentés - Analyse volume 2, Fonctions d'une variable réelle et intégration , livre ebook

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
250 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS

Sous la direction de Denis Monasse

Analyse vol. 2
Fonctions d’une variable réelle et intégration

Alain Tissier

Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES

Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafik Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taieb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas Tosel

EAN : 9782820810083
© rue des écoles, 2019
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en août 2019
Dépôt légal : septembre 2019

Table des matières

Épreuves orales des concours : corrigés7
I. FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1. FONCTIONS CONTINUES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2. DÉRIVÉES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3. FONCTIONS CONVEXES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
4. ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
5. ÉQUATIONS FONCTIONNELLES AVEC DÉRIVÉES. . . . . . . . . . . . .82
6. FONCTIONS VECTORIELLES .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
7. CONSTRUCTION DE FONCTION AYANT UNE PROPRIÉTÉ DONNÉE. . .95
8. EXERCICES DIVERS SUR LES FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II. INTÉGRALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
1. CALCUL D’INTÉGRALES SIMPLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2. INTÉGRALES SUR UN SEGMENT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3. INTÉGRALE FONCTION DES BORNES D’INTÉGRATION .. . . . . . . . . 169
4. INTÉGRALES SUR UN INTERVALLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5. ÉQUATIONS FONCTIONNELLES AVEC INTÉGRALES. . . . . . . . . . . 198
6. INTÉGRALES MULTIPLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7. EXERCICES DIVERS SUR LES INTÉGRALES .. . . . . . . . . . . . . . . . 222
III. INTÉGRALES À PARAMÈTRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
1. SUITES D’INTÉGRALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2. SÉRIES D’INTÉGRALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3. FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE. . . . . . . . . . . . . . . . 240
4. LA FONCTION GAMMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5. PHASE STATIONNAIRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
IV. ESPACES DE FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
1. APPROXIMATION DES FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
2. ESPACES PRÉHILBERTIENS DE FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . 289
3. TRANSFORMATIONS DE FONCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4. EXTRÉMUMS DE FONCTIONNELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5. QUESTIONS DIVERSES SUR LES ESPACES DE FONCTIONS. . . . . . . . 335

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Épreuves orales des concours

RMS

Épreuves orales des concours

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Préface
La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Alain Tissier, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un travail
considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera un
instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.

RMS

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Épreuves orales des concours

RMS

Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles

I. FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

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Épreuves orales des concours

1. FONCTIONS CONTINUES

La fonctionf:x7→cos(xsinx)est-elle uniformément continue surR?
RMSAnnée 2011 - numéro 194.

Solution par Omar Sonebi
p
2
Posons, pourn∈N:xn= 4n+ 1πetyn= 2nπ.
2
On a :lim(xn−yn) = 0maisf(xn)−f(yn) = cos(xnsin(xn))−1tend verscos(π /2)−16=
0.
En effet, quandn→ ∞,

2
p
π ππ
2
xnsin(xn) =xnsin(( 4n+ 1−2n)π) =xnsin√ ∼xn∼.
2
4n+ 1 + 2n4n2
Par conséquentfn’est pas uniformément continue.

Soit une fonctionf: [0,1]→Rcontinue et nulle en0et1.
On suppose :f(x+ 3/10)6=f(x)pour toutx∈[0,7/10].
Montrer quefs’annule au moins sept fois sur[0,1].
RMSAnnée 2006 - numéro 701.

Solution par Rodolphe Garin

Posons, pourx∈[0,7/10]:g(x) =f(x+ 3/10)−f(x).
La fonctiongest continue sur[0,7/10]et ne s’annule pas; elle garde donc un signe constant.
La fonction−fvérifie les mêmes hypothèses quef. On peut donc supposerg(x)>0, donc
f(x+ 3/10)> f(x), pour toutx∈[0,7/10].
On en déduit :f(9/10)> f(6/10)> f(3/10)> f(0) = 0et0 =f(1)> f(7/10)>
f(4/10)> f(1/10).
Sur chaque intervalle]1/10,3/10[,]3/10,4/10[,]4/10,6/10[,]6/10,7/10[,]7/10,9/10[la
fonctionfest continue et change de signe; d’après le théorème des valeurs intermédiaires,f
s’annule sur chacun d’eux.
Comme de plusf(0) =f(1) = 0, la fonctionfs’annule au moins sept fois sur[0,1].

Une fonction continue surQ∩[0,1]?est elle bornée
RMSAnnée 2017 - numéro 70.

Solution par Jean Nougayrède, Moubinool Omarjee, Romain Panis, Éric Pité

RMS

Épreuves orales des concours

9

1
Fixons un nombre irrationnela∈[0,1]. La fonctionx7→est continue surQ∩[0,1]
|x−a|
mais n’est pas bornée. En effet, si(an)est une suite de rationnels qui tend versa, alors
1
→+∞.
|x−an|

Soitfune fonction continue et minorée deRdansR. Montrer qu’il existe un réel
x0tel que, pour tout réelx,f(x0)−f(x)6|x−x0|.
RMSAnnée 2013 - numéro 273.

L’applicationu:x7→f(x) +|x|est minorée et atteint sa borne inférieure surRcar elle est
continue et tend vers+∞en±∞. Prenonsx0minimisantu. On a alors, pour toutxréel :
f(x0) =u(x0)− |x0|6u(x)− |x0|=f(x) +|x| − |x0|6f(x) +|x−x0|.

Remarque
C’est un cas très particulier du lemme d’Ekeland.

SoitIun intervalle deR,f:I→Iune application continue etKun segment
inclus dansf(I).
Montrer l’existence d’un segmentL⊂Itel quef(L) =K.
RMSAnnée 1995 - numéro 306, Année 2006 - numéro 79.

Solution par Jean-Louis Garcin

SoitK= [m, M]un segment inclus dansf(I).
2
Il existe(a, b)∈Itel quef(a) =metf(b) =M. Dans le cas oùm=Mon a
f([a, a]) = [m, M]et la propriété est démontrée. Nous supposerons donc désormaism < M.
Quitte à changerfen−fon supposeraa < b.

L’ensemble desx∈[a, b]tels quef(x) =mest non vide car il contientaet il est fermé
dans[a, b]carf; il contient donc sa borne supérieure notéeest continueα. Pour les mêmes
raisons l’ensemble desx∈[α, b]tels quef(x) =Mcontient sa borne inférieure notéeβ.
Ainsif(α) =metα < b,f(β) =Metβ > α.

Montrons :f([α, β]) = [m, M].
En effetf([α, β])est un segment contenantmetM, donc[m, M]⊂f([α, β]).
Soitx∈]α, β[tel quef(x)/∈[m, M].
Sif(x)> M, alors il existe, via le théorème des valeurs intermédiaires,c∈]α, x[tel que
f(c) =M, ce qui est contredit la définition deβ. De même sif(x)< m, il existed∈]x, β[
tel quef(d) =met ici encore la définition deαest contredite.
Finalementf([α, β])⊂[m, M]etf([α, β]) = [m, M].

RMS

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Épreuves orales des concours

Remarque
Cette solution est celle qui a été publiée en 1995. La solution publiée en 2007 propose une
variante ;introduire la borne supérieureα(resp. inférieureβ) de l’ensemble desx < b(resp.
x >α) tels quef(x)6m, (resp.f(x)>M).

On considère deux fonctionsfetgdeRdansRqui sont continues et telles quef◦g
est décroissante.
Montrer quef◦getg◦fadmettent chacune un unique point fixe.
RMSAnnée 2016 - numéro 721