MANUEL DE mathématiques ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - expertesTerminale , livre ebook

MANUEL DE
mathématiques
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
expertes
Terminale
NOUVEAU PROGRAMME
Sous la direction de Denis Monasse
Marc Lelong,
Stéphane Piat,
Luc VillemotEAN : 9782820811158
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles,
2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France en septembre 2020
Dépôt légal : octobre 2020Table des matières
Préface 4
Chapitre 1. Divisibilité et congruences dansZ 6
1. Quelques propriétés des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Divisibilité dansZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Numération binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chapitre 2. Plus grand commun diviseur, théorèmes de Bézout et Gauss 26
1. Rappels sur les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Plus grand commun diviseur de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Théorèmes de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Plus petit commun multiple de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6. Équation diophantienneax +by =c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7. Racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers . . . . . . . . . . . 44
8. Inverse d’un entier modulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9. Chiffrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10. Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chapitre 3. Nombres premiers 68
1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2. Infinité des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3. Décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers . . . . . . . . . . . 71
4. Petit théorème de Fermat et nombres de Carmichaël . . . . . . . . . . . . . 74
5. Ordre d’un entier modulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7. Nombres de Fermat et nombres de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
28. Équationax +bx +c 0 (modp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
34
Chapitre 4. Nombres complexes 92
1. Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2. Nombres complexes : forme cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3. Nombres : forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4. Application des nombres complexes à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . 121
5. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Équations dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Chapitre 5. Matrices réelles et systèmes linéaires. 154
1. Généralités sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2. Matrices égales dansM (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158p;q
3. Opérations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4. La cas spécifique de l’ensemble des matrices carrées de taillen. . . . . . . . 163
5. Systèmes linéaires den équations àp inconnues. . . . . . . . . . . . . . . . 177
6. Quelques applications en géométrie dans le plan et l’espace. . . . . . . . . . 183
7. applications issues des suites et de l’arithmétique. . . . . . . . . . 205
Chapitre 6. Graphes. 224
1. Généralités sur les graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2. Graphes et probabilités : graphes probabilistes, chaînes de Markov. . . . . 234
3. Une application : le modèle des urnes des époux Ehrenfest. . . . . . . . . . 242
4. Miscellanées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Annexe. Programmes en Python. 262
1. Divisibilité et division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2. Plus grand commun diviseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3. Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Cours de mathématiques expertes en TerminalePréface
À la suite des travaux dirigés par Cédric Villani et Charles Torossian, la réforme du lycée, qui
a vu le jour à la rentrée 2019 en classe de Première et à la rentrée 2020 en classe de Terminale,
a voulu réintroduire un contenu disciplinaire ambitieux, avec définitions, lemmes, théorèmes,
corollaires et surtout démonstrations, à travers une option Mathématiques Expertes. Ces
programmes nécessitaient des manuels adaptés pour servir de support de cours et d’exercices
pour les élèves et leurs enseignants. C’est à cet ouvrage que se sont attelés des professeurs
chevronnés comme Marc Lelong, Stéphane Piat et Luc Villemot. Avec cet ouvrage, les
auteurs poursuivent l’objectif de mieux préparer les élèves aux défis des développements les
plus récents des mathématiques et des sciences qui les utilisent.
En lisant leur ouvrage, je suis admiratif devant leur sens de la pédagogie qui doit rendre
accessibles des notions relativement abstraites, sans jamais renoncer à la rigueur nécessaire.
Je suis certain que les bons élèves qui utiliseront ce manuel en tireront le plus grand profit
pour la poursuite des études scientifiques dans l’enseignement supérieur. Quant à leurs
professeurs, ils y trouveront un outil remarquable pour inspirer et soutenir leurs cours. Certains
reprocheront peut-être, en comparaison avec d’autres collections, le caractère austère de la
présentation : pas de couleurs voyantes, pas de photographies ni d’images, pas d’inclusion de
textes plus ou moins adaptés. Ce caractère austère est bien entendu voulu et il permet d’aller
à l’essentiel : la logique intrinsèque des mathématiques et du raisonnement.
J’espère que cet ouvrage remarquable trouvera le succès qu’il mérite et que les élèves qui
l’utiliseront de manière approfondie, en faisant l’effort de suivre pas à pas la progression des
idées, finiront par partager avec ses auteurs l’amour de la rigueur, de la créativité et de cette
magnifique discipline intellectuelle que sont les mathématiques et qu’ils feront des progrès
décisifs.
Denis Monasse
Cours de mathématiques expertes en Terminale6
Cours de mathématiques expertes en TerminaleChapitre 1
Divisibilité et congruences dansZ
Résumé : Étude de la divisibilité des entiers relatifs et des congruences.
1. Quelques propriétés des entiers
1.1. Rappels
On distingue les cinq ensembles de nombres suivants :
• N est l’ensemble des entiers naturels. Un entier naturel est positif ou nul.
• Z est des entiers relatifs. Un entier relatif peut être positif, négatif ou nul.
• Q est l’ensemble des nombres rationnels. Un nombre rationnel peut s’exprimer comme
le quotient de deux entiers relatifs ; le dénominateur étant non nul. Le développement
décimal d’un nombre rationnel est périodique.
• R est l’ensemble des nombres réels. Un nombre réel peut être rationnel ou irrationnel.p
Par exemple, nous démontrerons que 2 est un nombre irrationnel.
• C est l’ensemble des nombres complexes. Les nombres complexes sont étudiés dans
un autre chapitre de ce livre.
Ces ensembles vérifient les inclusions suivantes :
NZQRC:
Ces inclusions sont toutes strictes. Il existe des entiers relatifs qui ne sont pas des entiers
naturels. Il existe des nombres rationnels qui ne sont pas entiers relatifs. Il existe des nombres réels
qui ne sont pas rationnels et il existe des nombres complexes qui ne sont pas réels.
1.2. Ordre dans les entiers naturels
L’ensemble des entiers naturels est muni d’une relation d’ordre, notée6, qui permet de les
classer par ordre croissant. On admet les deux propriétés suivantes intuitives mais essentielles
pour la suite de notre propos.
Propriété 1.
• Toute partie non vide deN admet un plus petit élément.
• Toute partie non vide deN majorée admet un plus grand élément.
Cours de mathématiques expertes en Terminale8
Il est important de réaliser que ces deux propriétés sont fausses dansR. Considérons par
exemple l’intervalle I = ]0; 1[ deR. Alors I n’admet ni de plus petit élément ni de plus
grand élément. En effet supposons, par l’absurde, que I admette un plus petit élément .
Alors :

0<< 1 =) 0< << 1:
2
Donc =2 est un élément de I strictement plus petit que . Il y a une contradiction.
L’ensembleI n’admet pas de plus petit élément. De même supposons par l’absurde queI admette
un plus grand élément. Alors :
1 +
0< < 1 =) 0< < < 1:
2
Donc (1 +)=2 est un élément deI strictement plus grand que. Il y a cette fois encore une
contradiction. DoncI n’admet ni de plus grand élément ni de plus petit élément bien que ce
soit une partie bornée deR.
Énonçons maintenant un théorème découlant des propriétés deN vues précédemment.
1Théorème 1. Toute suite décroissante d’entiers naturels est stationnaire .
Démonstration. Soit (u ) une suite d’entiers naturels décroissante. Notons A la partie den
N constituée des termes de cette suite. En vertu de la propriété 1, la partieA étant non vide
admet un plus petit élément . Soit k un entier tel que u = . Puisque la suite (u ) estk n
décroissante, on a en particulier :
8n2N; n>k =) u 6u :n k
L’entieru étant le plus petit nombre deA, on en déduit que la suite est stationnaire à partirk
du rangk. Le théorème est démontré.
Le théorème 1 joue un rôle important en arithmétique via la méthode de la descente infinie.
Cette dernière permet de démontrer l’inexistence d’entiers naturels satisfaisant certaines
propriétés portant sur les entiers. SoitP une telle propriété. On suppose au départ qu’il existe un
entierq satisfaisantP puis, de proche en proche, on construit à l’