Analyse dans les espaces métriques , livre ebook

Hervé Pajot et Emmanuel Russ
Analyse dans les espaces métriques
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2018
ISBN papier : 9782759822560 ISBN numérique : 9782759830312
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
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Présentation

L’analyse dans les espaces métriques est un domaine des mathématiques qui s’est beaucoup développé ces dernières années. Celui-ci a de nombreuses applications, en géométrie et en synthèse d’image par exemple. Ce livre, issu de plusieurs cours de Master 2 donnés à l’Université Grenoble Alpes, est destiné à un large public d’étudiants qui souhaitent aller au-delà des cours traditionnels d’analyse de niveau L3/M1, ainsi qu’à des chercheurs de divers domaines intéressés par les bases de l’analyse non lisse, notamment sur des espaces fractals. Le premier chapitre propose quelques compléments de théorie de la mesure et introduit plusieurs notions et outils fondamentaux, ainsi que le groupe de Heisenberg. Les trois autres chapitres présentent une description de l’état de l’art sur la théorie géométrique de la mesure, les espaces de Sobolev, les inégalités de Poincaré et la théorie quasi-conforme, le tout dans les espaces métriques généraux. La théorie classique dans les espaces euclidiens est revue au début de chacun de ceux-ci. Chaque chapitre du livre se termine par de nombreux exercices. Certains, donnant des compléments utiles au texte principal, sont inspirés d’articles de recherche récents.
Les auteurs

Hervé Pajot

Professeur à l’Université Grenoble Alpes. Leurs recherches portent sur l’analyse et la géométrie.
Emmanuel Russ

Professeur à l’Université Grenoble Alpes. Leurs recherches portent sur l’analyse et la géométrie.
Table des matières Motivations et plan Notations Espaces métriques Structures euclidiennes Mesures Espaces fonctionnels Chapitre 1. Éléments de théorie de la mesure 1.1. Mesures 1.2. La mesure de Lebesgue dans n 1.3. Lemmes de recouvrement 1.4. Espaces de nature homogène 1.5. Compléments sur les groupes de Lie 1.6. Fonction maximale de Hardy-Littlewood 1.7. Différentiation de mesures 1.8. Exercices Chapitre 2. Applications lipschitziennes et théorie géométrique de la mesure 2.1. Définition, exemples et propriétés élémentaires des applications lipschitziennes 2.2. Mesures et dimension de Hausdorff 2.3. Différentiabilité des applications lipschitziennes et approximation par des fonctions lisses 2.4. Théorèmes de prolongement des applications lipschitziennes 2.5. Autour de la théorie de la rectifiabilité 2.6. Formules de l aire et de la coaire 2.7. Exercices Chapitre 3. Espaces de Sobolev 3.1. Espaces de Sobolev dans des ouverts de n 3.2. Espaces de Sobolev dans les espaces métriques 3.3. Exercices Chapitre 4. Inégalités de Poincaré, espaces de Loewner et applications 4.1. Le cas euclidien 4.2. Inégalités de Poincaré dans les espaces métriques 4.3. Exemples d espaces de Loewner 4.4. Applications 4.5. Exercices Bibliographie Index terminologique A B C D E F G I L M N O P Q R S T V
Motivations et plan

L es notes qui suivent correspondent à un cours de M2 recherche donné par les auteurs à l université Joseph Fourier en 2014-2015 mais ont été complétées pour aller plus loin qu un cours de niveau master. On s y consacre à l analyse dans les espaces métriques mesurés, en se concentrant essentiellement sur les questions de différentiabilité dans les espaces métriques et le texte contient aussi bien des résultats et outils classiques (lemmes de recouvrement, fonction maximale, différentiation de mesures) que des développements récents concernant la théorie géométrique de la mesure et le calcul des variations, les espaces de Sobolev et les inégalités de Poincaré dans les espaces métriques.
Les espaces de Sobolev dans des ouverts de n jouent depuis longtemps un rôle essentiel dans diverses branches des mathématiques (analyse, équations aux dérivées partielles, géométrie). Rappelons que, si p [1, + ] et U n est un ouvert, une fonction u L p ( U ) appartient à l espace de Sobolev W 1, p ( U ) si, et seulement si, u possède un gradient faible (au sens des distributions) qui appartient à L p ( U ). Les propriétés de base de cet espace (densité des fonctions lisses, prolongement en une fonction de W 1, p ( n ), règle de composition, changement de variables, existence de la trace sur U , plongements dans des espaces L p ou des espaces de fonctions hölderiennes) sont bien connues et classiques (voir par exemple [ 1, 22, 45, 102, 154] ). Certaines propriétés de ces espaces (notamment les inégalités données par les plongements de Sobolev) ont pu être étendues à des contextes géométriques plus généraux. En particulier, certaines inégalités de Sobolev sont reliées au comportement du semi-groupe de la chaleur engendré par l opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés, et des phénomènes comparables ont été découverts dans des contextes discrets (groupes, graphes). On se reportera à [145] pour ces différents contextes géométriques.
La théorie des espaces de Sobolev dans des espaces métriques a commencé à être développée à la fin des années 1990. Une motivation de ce développement était l étude (motivée elle-même par des questions de rigidité en géométrie hyperbolique par exemple) des applications quasi-conformes dans les espaces à géométrie bornée. Rappelons que, dans n , un homéomorphisme quasi-conforme entre des domaines de n est différentiable presque partout et appartient localement à W 1, n . La notion d application quasi-conforme s étend sans difficulté aux espaces métriques. Toutefois, l identification des conditions géométriques sur l espace qui permettent de donner une description analytique des applications quasi-conformes dans un espace métrique a été une étape essentielle du développement de l analyse dans les espaces métriques mesurés, mettant en évidence le rôle central joué par la condition de doublement et les inégalités de Poincaré sur les boules. Ceci a amené à la notion d espace de Loewner, qui est devenu un cadre général pour traiter de questions d analyse géométrique.
Un objectif majeur de ce cours est de présenter des développements récents de l analyse dans les espaces métriques, en mettant l accent sur la différentiabilité dans les espaces métriques, la théorie géométrique de la mesure et le calcul des variations, les espaces de Sobolev et les inégalités de Poincaré. Nous commencerons toujours par rappeler la situation classique, c est-à-dire dans les espaces euclidiens munis de la mesure de Lebesgue. Puis, nous expliquerons comment l étendre à d autres contextes géométriques (espaces de Banach, groupes de Carnot, espaces métriques à géométrie bornée ). Ces notes ne prétendent pas donner une présentation exhaustive de l analyse dans les espaces métriques, un domaine qui a connu un fort développement ces dernières années. Le cours est accessible à tout étudiant ayant un niveau M1 et comporte notamment les compléments nécessaires en théorie de la mesure. Nous insisterons sur les aspects « géométrie métrique ». Ainsi, des connaissances en géométrie riemannienne ne sont pas nécessaires (même si elles peuvent être utiles parfois, voir le chapitre 4 pour une introduction à la notion de courbure). Plus de 80 exercices et problèmes sont aussi proposés.
On décrit maintenant brièvement le contenu des quatre chapitres. Le premier présente des résultats fondamentaux d analyse dans les espaces de nature homogène. Ces espaces ont été introduits dans les années 1970 par Coifman et Weiss ( [28] ) comme un cadre général pour faire de l analyse harmonique (sans théorie des représentations). Un espace de nature homogène est un espace métrique ( X , d ) muni d une mesure de Radon qui satisfait à la condition de doublement, c est-à-dire ( B ( x , 2 r )) C DV ( B ( x , r )) pour une certaine constante uniforme C DV > 0 (appelée souvent constante de doublement). On commence par donner des compléments de théorie de la mesure et d analyse (théorèmes de représentation de Riesz, de Radon-Nikodym, d Egoroff, lemme d Urysohn, inégalité isodiamétrique ). On introduit ensuite les espaces de nature homogène et l on décrit un exemple fondamental qui sera repris plusieurs fois dans le cours : le groupe de Heisenberg (ou plus généralement les groupes de Carnot). On démontre les théorèmes de recouvrement classique (lemme 5 r , Vitali, Besicovitch ) et on en donne des applications : théorème de différentiation de Lebesgue, fonction maximale de Hardy-Littlewood, dérivation de mesures, fonctions absolument continues Ce chapitre doit être considéré comme un prolongement des cours classiques d analyse et d intégration de L3 et M1.
Le chapitre 2 porte sur les fonctions lipschitziennes et propose une introduction à la théorie géométrique de la mesure et au calcul des variations. On démontre les principales propriétés des fonctions lipschitziennes dans le cas euclidien : théorème de Rademacher sur la différentiabilité, théorème de Kirszbraun sur l extension, théorème de Whitney (approximation par des fonctions lisses). Les cas non euclidiens (espaces de Banach, groupes de Carnot, espaces métriques) sont toujours discutés à la suite des résultats classiques. Après avoir défini les notions de mesures et dimension de Hausdorff, on définit les concepts fondamentaux autour de la théorie de la rectifiabilité et puis on discute de ses applications en analyse réelle (intégrales singulières), analyse complexe (effaçabilité pour les fonctions holomorphes bornées), segmentation d images (min