Cohomologie galoisienne , livre ebook

David Harari
Cohomologie galoisienne
Et théorie du corps de classes
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2017
ISBN papier : 9782759820665 ISBN numérique : 9782759830220
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
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Présentation

Ce livre est une introduction aux méthodes modernes de la théorie des nombres. Issu de plusieurs cours de Master 2 donnés à l’Université de Paris-Sud, il est destiné à un public d’étudiants désireux d’acquérir des bases solides dans cette discipline, ou à des chercheurs d’autres domaines souhaitant se familiariser avec les problématiques rencontrées. Cet ouvrage rassemble, en donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie, la théorie du corps de classes local et global, et les théorèmes de dualité de Poitou-Tate. Il contient des chapitres introductifs sur les corps locaux et globaux, ainsi qu’un appendice résumant les résultats d’algèbre homologique qui sont utilisés. Chaque chapitre du livre se termine par de nombreux exercices, certains donnant des compléments utiles au texte principal.
L'auteur

David Harari

Professeur à l’Université de Paris-Sud (Orsay), est spécialiste d’arithmétique et de géométrie algébrique.
Table des matières Avant-propos Notations et conventions Partie I. Cohomologie des groupes et cohomologie galoisienne : généralités Présentation Chapitre 1. Cohomologie des groupes finis : propriétés de base 1.1. Notion de G -module 1.2. La catégorie des G -modules 1.3. Les groupes de cohomologie H i ( G,A ) 1.4. Calcul de la cohomologie avec les cochaînes 1.5. Changement de groupe : restriction, corestriction, suite spectrale de Hochschild-Serre 1.6. Corestriction ; applications 1.7. Exercices Chapitre 2. Groupes modifiés à la Tate, cohomologie des groupes cycliques 2.1. Les groupes de cohomologie modifiés de Tate 2.2. Changement de groupe. Transfert 2.3. Cohomologie d un groupe cyclique 2.4. Quotient d Herbrand 2.5. Cup-produits 2.6. Cup-produits pour la cohomologie modifiée 2.7. Exercices Chapitre 3. p -groupes, théorème de Tate-Nakayama 3.1. Modules cohomologiquement triviaux 3.2. Théorème de Tate-Nakayama 3.3. Exercices Chapitre 4. Cohomologie des groupes profinis 4.1. Notions de base sur les groupes profinis 4.2. G -modules discrets 4.3. Cohomologie d un G -module discret 4.4. Exercices Chapitre 5. Dimension cohomologique 5.1. Définitions, premiers exemples 5.2. Propriétés de la dimension cohomologique 5.3. Exercices Chapitre 6. Premières notions de cohomologie galoisienne 6.1. Généralités 6.2. Théorème de Hilbert 90 et applications 6.3. Groupe de Brauer d un corps 6.4. Dimension cohomologique d un corps 6.5. Corps C 1 6.6. Exercices Partie II. Corps locaux Présentation Chapitre 7. Rappels sur les corps locaux 7.1. Anneaux de valuation discrète 7.2. Corps complet pour une valuation discrète 7.3. Extensions d un corps complet 7.4. Théorie de Galois d un corps complet pour une valuation discrète 7.5. Théorème de structure ; filtration du groupe des unités 7.6. Exercices Chapitre 8. Le groupe de Brauer d un corps local 8.1. Axiome du corps de classes local 8.2. Calcul du groupe de Brauer 8.3. Dimension cohomologique ; théorème de finitude 8.4. Exercices Chapitre 9. Corps de classes local : l application de réciprocité 9.1. Définition et principales propriétés 9.2. Théorème d existence : lemmes préliminaires et cas d un corps p -adique 9.3. Exercices Chapitre 10. Dualité locale de Tate 10.1. Module dualisant 10.2. Le théorème de dualité locale 10.3. Caractéristique d Euler-Poincaré 10.4. Cohomologie non ramifiée 10.5. Du théorème de dualité au théorème d existence 10.6. Exercices Chapitre 11. Corps de classes local : théorie de Lubin-Tate 11.1. Groupes formels 11.2. Changement d uniformisante 11.3. Corps associés aux points de torsion 11.4. Calcul de l application de réciprocité 11.5. Théorème d existence (cas général) 11.6. Exercices Partie III. Corps globaux Présentation Chapitre 12. Rappels sur les corps globaux 12.1. Définitions, premières propriétés 12.2. Extensions galoisiennes d un corps global 12.3. Idêles, théorème d approximation forte 12.4. Quelques compléments dans le cas d un corps de fonctions 12.5. Exercices Chapitre 13. Cohomologie des idèles : axiome du corps de classes 13.1. Cohomologie du groupe des idêles 13.2. La seconde inégalité 13.3. Extensions de Kummer 13.4. Première inégalité et axiome du corps de classes 13.5. Preuve de l axiome du corps de classes pour un corps de fonctions 13.6. Exercices Chapitre 14. Loi de réciprocité et théorème de Brauer-Hasse-Noether 14.1. Existence d une extension cyclique neutralisante 14.2. Invariant global et symbole de reste normique 14.3. Exercices Chapitre 15. Le groupe de Galois abélien d un corps global 15.1. Application de réciprocité et groupe des classes d idêles 15.2. Le théorème d existence global 15.3. Le cas du corps de fonctions 15.4. Corps de classes de rayons ; corps de classes de Hilbert 15.5. Groupes de Galois de ramification restreinte 15.6. Exercices Partie IV. Théorèmes de dualité Présentation Chapitre 16. Formations de classes 16.1. Notion de formation de classes 16.2. La suite spectrale des Ext 16.3. Le théorème de dualité pour une formation de classes 16.4. P -formations de classes 16.5. Du théorème d existence au théorème de dualité pour un corps p -adique 16.6. Compléments 16.7. Exercices Chapitre 17. Dualité de Poitou-Tate 17.1. La P -formation de classes associée à un groupe de Galois de ramification restreinte 17.2. Les groupes 17.3. Énoncé des théorèmes de Poitou-Tate 17.4. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (I) : calcul de deux groupes Ext 17.5. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (II) : calcul des Ext à valeurs dans I S et fin de la preuv e 17.6. Exercices Chapitre 18. Quelques applications 18.1. Nullité de certains III i 18.2. Dimension cohomologique stricte d un corps de nombres 18.3. Exercices Appendice Quelques résultats d algèbre homologique A.1. Généralités sur les catégories A.2. Foncteurs A.3. Catégories abéliennes A.4. Catégories de modules A.5. Foncteurs dérivés A.6. Ext et Tor A.7. Suites spectrales Bibliographie Index terminoloique A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V
Avant-propos

L es outils issus de la cohomologie galoisienne jouent un rôle fondamental dans la théorie des nombres moderne. Ils permettent en effet d avoir une meilleure compréhension du groupe de Galois d un corps local ou d un corps de nombres, qui sont des objets centraux dans la plupart des grands problèmes arithmétiques de notre époque. La théorie cohomologique du corps de classes, qui s est développée après la guerre, peut être vue comme une première étape dans la mesure où elle traite principalement des extensions dont le groupe de Galois est abélien. En un sens, c est le cas de dimension 1 du programme de Langlands, lequel est aujourd hui l un des domaines phares de l arithmétique.
L origine de ce livre est le constat de deux manques dans la littérature existante. Tout d abord, il n y a à notre connaissance pas de livre publié en français traitant de façon détaillée de la théorie du corps de classes global. Ensuite, les ouvrages (en anglais) comme [ 38 ] ou [ 41 ] qui donnent des preuves des théorèmes de Poitou-Tate admettent en général un certain nombre de résultats de la théorie du corps de classes, ce qui ne facilite pas la compréhension de l enchaînement logique des idées pour l étudiant.
Le but de ce livre est donc de rassembler dans un même ouvrage, et en donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie (partie I : chapitres 1 à 6), la théorie du corps de classes local (partie II : chapitres 7 à 11) et global (partie III : chapitres 12 à 15), et les difficiles (mais ô combien utiles) théorèmes de dualité de Poitou-Tate (partie IV : chapitres 16 à 18). Les prérequis se limitent aux généralités d algèbre et arithmétique enseignées à l université en M1 (théorie de Galois, notions de base d arithmétique et de théorie des groupes finis), rendant ainsi le livre accessible pour des étudiants de M2. On a en particulier inclus un chapitre de rappels sur les corps locaux (chapitre 7) ainsi que sur les corps globaux (chapitre 12), ainsi qu un appendice résumant les résultats d algèbre homologique qui sont utilisés dans le livre. Nous pensons en effet que quelques connaissances en algèbre homologique (catégories abéliennes, foncteurs dérivés, suites spectrales) seront de toute façon utiles à l étudiant qui veut poursuivre son apprentissage en algèbre, en arithmétique, ou encore en géométrie algébrique ; de plus, l utilisation systématique de l algèbre homologique permet d avoir une présentation vraiment élégante de certains résultats (par exemple ceux du chapitre 16 sur les formations de classes), qui paraîtraient sinon assez artificiels ; elle est aussi adaptée pour justifier les commutativités des diagrammes, que nous avons essayé de présenter le plus rigoureusement possible tout au long du texte. Nous n avons par contre pas jugé utile de recourir aux catégories dérivées qui, même si elles peuvent apporter un point de vue nouveau, demandent un effort conséquent et ne sont pas réellement utiles pour les sujets traités dans ce livre ; elles deviennent en revanche rapidement indispensables si on s intéresse à des théorèmes de dualité plus généraux que ceux de Poitou-Tate, comme ceux faisant intervenir des corps de dimension cohomologique 3 ([ 18 ]) ou encore des complexes de modules galoisiens ([ 19 ], [ 16 ]).
Nous n avons pas non plus (faute