Colle N°08: Géométrie élémentaire du plan

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S08 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN Modes de rep´erage dans le plan D´eﬁnition : bases et rep`eres du plan, bases et rep`eres orthonorm´es, orthonorm´es directs. x~ ~Th´eor`eme.— Soient R = (O,~ı,~) et R = (Ω,I,J) des ROND. Soit M ∈ P un point du plan tel que M ,y R X xΩM , Ω . Les coordonn´ees de M dans les rep`eresR et R sont reli´ees par les formules :yY Ω RR X = cosϑ(x−x ) +sinϑ(y−y )Ω Ω , Y = −sinϑ(x−x ) +cosϑ(y−y )Ω Ω ~ ~ou` ϑ≡ (~ı,I) [2π] est une mesure de l’angle orient´e entre~ı et I. ~u = cosϑ·~ı+sinϑ·~ϑD´eﬁnition : SoientR = (O,~ı,~) un ROND et ϑ∈R. On d´eﬁnit les vecteurs : Le triplet ~v =−sinϑ·~ı+cosϑ·~ϑ (O,~u ,~v ) est un ROND appel´e rep`ere polaire d’angle ϑ.ϑ ϑ Produit scalaire et d´eterminant de deux vecteurs D´eﬁnition : Lorsque ~u ou ~v est nul, on pose (~u|~v) = Det(~u,~v) = 0. Sinon Le produit scalaire de ~u et ~v est d´eﬁni par (~u|~v) = k~ukk~vk cos(~u,~v). Le d´eterminant de ~u et ~v est d´eﬁni par Det(~u,~v) = k~ukk~vk sin(~u,~v) Interpr´etations g´eom´etriques de ces deux notions. Proposition.— Soient ~u,~v deux vecteurs du plan. Alors ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si (~u|~v) = 0 ~u et ~v sont colin´eaires si et seulement si Det(~u,~v) = 0 Th´eor`eme.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S08

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´ ´ ´
GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN

Modesderepe´ragedansleplan
De´ﬁnition:sab,tese`perserereeterp`duesanplohonmre´dsricestorthonorm´es,ort.esasb

~ ~t du plan tel queMx
The´or`eme.—SoientR= (O~ı~) etR= (Ω I J) des ROND. SoitM∈ Pun poinyR,
MXYR, ΩyxΩΩReesdeoodrno´neLcsMnslesrepdasere`RetRmuorsflearspeei´lertnosel:s
X= cosϑ(x−xΩ) + sinϑ(y−yΩ)
Y=−sinϑ(x−xΩ) + cosϑ(y−yΩ)

~ ~
ou`ϑ≡(ıI~) [2πst]euresemungna’ledetneiroel´eentre~ıetI.
~
D´eﬁnition:SoientR= (O~~ı)un ROND etϑ∈Rsr:tcueseevnO.ﬁe´dltinu~vϑϑ=c=−nisosϑϑ~ıı~ocs+in+ϑsϑ~~

(~Ouϑ~vϑ)tsnuORDNeappel´eelgnriala’deep`ereporϑ.

Produitscalaireetd´eterminantdedeuxvecteurs
De´ﬁnition:Lorsqueu~ouv~est nul, on pose(~u|~v) = Det(~uv~) = 0. Sinon

Leproduit scalairede~uet~dte´nﬁpira
ves
Leetd´antnreimdeu~etv~ipar´eﬁnestd

Interpre´tationsge´ome´triquesde ces deux notions.

Proposition.—Soient~uv~deux vecteurs du plan. Alors

(~u|v~)
Det(~u~v)

=ku~k kv~kcos(v~~u)
=ku~k kv~ksin(~~vu)

u~etv~sont orthogonauxsi et seulement si(u~|v~) = 0
u~etv~onsseriae´niloctsi et seulement siDet(~u~v) = 0

Th´eor`eme.—proprie´te´sfondamentalesduproduitscalaireetdude´terminant
~ ~
le produit scalaire ( | ) :P × P →Rsteisopefitirte,euqe,irm´sylibiean´positif.td´eﬁni-
~ ~
mrninaDtldee´et:etP × P →Rmysitna,eriae´niiltbes.ique´etr

Le triplet

The´ore`me.—Expressionenbond—.Soit (e~1~e2) une base orthonormale du plan. Soient~uet~vdes vecteurs tels
queu~=u1~e1+u2e~2et~v=v1e~1+v2e~2. Alors
~u~v=u1×v1+u2×v2
Det(uv~) =u1×v2−u2×v1
~

~ ~
Proposition.—In´egalite´deCauchy-Schwarz—.Soit (~u~v)∈ P × P. Alors

|u~~v| ≤ ku~k × k~vk´tilecevaage´si et seulement siu~et~v.sentcosoeairlin´

~ ~
Proposition.—Identit´esremarquables—.Soit (~v~u)∈ P × P. Alors
• ku~+v~k2=ku~k2+ 2~u~v+k~vk2•(u~+~v)(u~−~v) =ku~k2− kv~k2
• ku~+v~k2− k~u−~vk2= 4u~~v• ku~+~vk2+ku~−v~k2= 2ku~k2+ 2k~vk2

Droites aﬃnes du plan
De´ﬁnition:systuele`emeidqtnO(S)yx==ab++tαtβ;t∈Rest unarsp´eamuaeqontiqirtseuyss’´edemt`
de la droiteD´eeparlerep´eropnitAbaet le vecteur directeuruβα.
~

Proposition.—eduproitutedToqeaunu´emdtealannoittracise´enneladermfoe:

(E)

ax+by=c

avec (a b)6= (00)

R´eciproquement,pourtouttriplet(a b c)∈R3, (a b)6= (00), l’ensemble des pointsMxy(ﬁant´erivE) est une
droiteDdu plan. Un vecteur directeur deDestu~−balaa`teurnorm,unvecDestnb.
~ a

Proposition.—SoientDla droite passant parAd,are´perigi~u, de vecteur normal~netMyx. On obtient une
´equationcart´esiennedeDsi´eneen’usldeneroocnnodsee´tracentraduisantensuesnclevauieqs´:setnavi
−−→
M⇒⇐D∈Det(uAM~) = 0
−−→
⇐⇒(AM|~n) = 0

De´ﬁnition:Toute droiteDncart´es´equatiofaroemeinndeleemdaenutudnalpcosθx+ sinθy=peel´eppa,qu´enioat
normaledeD.
Interpr´etation:~uθtcevnrueamroa`lstuneD. Sur la droiteDθ, passant parOrateidirg´ee(orient´ee)p~uθ,pest la
mesurealg´ebriquedupointd’intersectionHdeDθetD.
D´eﬁnition:On appelletniopudlpt´eorojegonarthoM0sur la droiteD, le pointH0ntd´eteruniquemeim´npera
H0∈ D
−−−→~
H0M0⊥ D

Proposition.—SoitM0∈ P,Dune droite du plan. On noteH0eldnagohorteot´orejlpeM0surD. Alors, pour tout
pointH∈ D, on aH M0≥H0M0
On note appelledistancedeM`D, et on noted(M0D) =M0H0. C’est la plus petite distance entreM0et un
0a
point deD

Th´eor`eme.—Calculspratiquesdeladistance—.SoitDla droite passant parAd,rigie´arep~u, de vecteur normal
~n. On noteax+by=c, avec (a b)6= (0urqat´atoeinec´n0nndue)seeieD. La distance d’un pointM0yx00a`Dest
donn´eepar:−−→−−→
d(M0D) =Det(kAM~uk0~u)=(Ak~M0nk|~n)=ax0a+2b+y0b2−c

Cercles du plan

Proposition.—upedclerecutToauqe´enutemdanal´esiennetioncart:eedalofmr

(E)

x2+y2−2ax−2by=c

avecc+a2+b2≥0

Re´ciproquement,pourtouttriplet(a b c)∈R3,c+a2+b2≥0, l’ensemble des pointsMyxe´vaﬁir(tnE) est le
cercle de centre Ωbaet de rayonR=c+a2+b2.

Savoir-faire :noitauqe´’lrenimeretd´teostnernoecapsrnn´eledocercd’unerte.sdses`maiarupdeunaynr,oon
Proposition*.—SoitCdee´i´s’nqeeeanulitcneoraecltcrx2+y2−2ax−2by=ca`etataLnegn.Cau pointHyx00a
poure´quationcart´esienne:

(T)

xx0+yy0−a(x+x0)−b(y+y0) =c

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