Colle N°18: Étude locale des fonctions
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S18
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ DES FONCTIONS )(1/2)
ETUDE LOCALE (I
Limites de fonctions
¯
De´finition:Soitf:I→R,a∈Ietℓ∈R. On dit quefa pour limiteℓau pointasi :
(∀ε >0)(∃η >0)(∀x∈I)(|x−a| ≤η⇒ |f(x)−ℓ| ≤ε)
De´finition:Extensionsdelanotiondelimite
1.limitefinieenuneextre´mite´infiniedeI
¯
2. limite infinie ena∈I
3.limiteinfinieenuneextre´mite´infiniedeI.
◦
De´finition:SoientIun intervalle non trivial,f:I→Ra∈I. On dit quefsse`opeednu`itspree(cha`.lmi
e a gau
droite)au pointasi la restriction defa`J=I∩]− ∞ a[(resp.J=I∩]a+∞[etnesop)de`senueimila.
¯ ¯
Proposition.—Unicit´edelalimite—.Soitf:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ ℓ′∈R.
Sifadmetℓetℓ′comme limites au pointa,alorsℓ=ℓ′.
◦
Proposition*.—SoitIun intervalle non trivial,f:I→Reta∈Iun pointiruetne´ral’i`deI. Alors
fadmet une limite au pointassifadmetf(a`hcee`tdaor)commelimitneetia.
e a gau
Proprie´t´esdesfonctionsposse´dantunelimite
¯
Th´eor`eme.Caracte´risationse´quentielledelalimite.—Soitf:I→R,a∈I∪ {±∞}, etℓ
—
l’e´quivalencesuivante:
xli→maf(x) =ℓ⇐⇒(∀u∈IN)nl→i+m∞un=a⇒nl→i+m∞f(un) =ℓ
¯
∈R. On a
Savoir-faire :uitontidionacrlseli´ruoperiassece´ntedueilrsaiuet(f(unrilbeuq)),oupour´etafn’a pas de limite en
aeilrteduet(saiuupor´ouf(un)).
¯
Proposition.—Sif:I→Radmet unelimite finieena∈I∪ {±∞},alorsfbtne´nrocoltmelaesinageeeauvois
dea.
¯
Proposition.—Limitesetine´galite´s.—Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On suppose quefetgso`spnedesedt
limites au pointa.
Silimf(x)<limg(x),alorsf < gdans un voisinage dea.
x→a x→a
Sif≤gau voisinage dea,alorslimf(x)≤limg(x).
x→a x→a
Th´eor`emesd’existencedelimites
¯ ¯
Th´eore`me*.—Op´erationsalge´briques—.Soientf g:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ ℓ′∈R, etλ∈R⋆.
On suppose que limf(x) =ℓet limg(x) =ℓ′. Alors
x→a x→a
1lim|f(x)|=|ℓ|2lim (λf(x)) =λ ℓ
x→a x→a
3lim (f(x) +g(x)) =ℓ+ℓ′4lim (f(x)×g(x)) =ℓ×ℓ′
x→a x→a
5si de plusℓ6= 0xli→maf(1x)=ℓ61siℓ= 0+l 1
xi→maf(x) = +∞
¯
pourvuquecesope´rationsaientunsensdansR.
1
Theor`eme*.—
´
¯
Encadrement, comparaison —.Soitf g h:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ∈R
0alorslimf(x) = 0
x→a
SSii••••xxl∀l∀ii→x→xmmaa∈∈IffI((xx))|fg=(=(xx))+≤≤|∞g|(fx()x)!|!lorsx→a
alimg(x) = +∞
Si••x∀lix→ma∈If(x)f=(ℓx)e≤tgx(li→x)mah≤(hx)(x=)ℓ!alorsxli→ma
g(x) =ℓ
The´ore`me.—Changementdevariable—.Soitf:I→Retg∈J→Rtelles quef(I)⊂J
¯ ¯
x) =b
b∈J∪ {±∞},ℓ∈R.Si••xilli→mmabfg((y) =ℓ!alorsxli→mag◦f(x) =ℓ
y→
Cas des fonctions monotones
¯
eta∈I∪ {±∞},
¯ ¯
The´or`eme.—Limitemonotoneauxbornesdel’intervalle—.Soit (a b)∈R×Rtels quea < betf:]a b[→Rune
applicationmonotone. Alors
◮Sifest croissante,alors
¯
fpso`sdeeunelimitedansRenaet limf(x i) =]nafb[f(x)
x→a x∈
¯
fssopede`lenutimianedsRenbet limx s) =
x→bf(x∈]uapb[f(x)
◮Siftnassior,ed´ecestalors
¯
ftedanseds`ospmilineeuRenaet limf(x sup) =f(x)
x→xa∈]ab[
¯
fsspode`enadeslenutimiRenbet lximbf(x) =xi∈]nafb[f(x)
→
The´ore`me.—Limitemonotonea`l’inte´rieurdel’intervalle—.Soitf:I→Rune applicationmonotone. Alors
◦
en tout pointa∈I,fadmet des limitesfiniespluse.Dehceegauaorti`tda`
◮Sifest croissante,alorsxl→ima−f(x)≤f(a)≤lim+f(x)
x→a
◮Sifiossnaetsedte´rc(x)≤f(a)≤limf(x)
,alorsxl→ima+fx→a
−
Limites des fonctions usuelles
The´ore`me*.—
1.∀a∈R, lim sinx= sinaet lim cosx= cosa
x→a x→a
2.∀a∈]−2ππ2[xli→matanx= tanaxl→imπ2−tanx= +∞etx→li−mπ2 +tanx=−∞
3.∀a∈Rlim exp(x) = exp(a) lim exp(x lim) = 0+∞exp(x) = +∞
x→a x→−∞x→
4.∀a∈R+⋆lim lnx= lnalim0lnx=−∞xl→im+∞lnx= +∞
x→a x→
5. (∀a∈R+⋆)limxα=aα
x→a
6. Siα > lim0, alorsxα lim= 0 etxα= +∞.
x→0x→+∞
7. Siα < l0, alorsxi→m0xα= +∞et li+m∞xα= 0.
x→
2
