Correction de Devoir Surveillé N°07

1.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

lundi 6 mai 2013

´ ´
CORRIGE DU CONCOURS BLANC DE MATHEMATIQUES

EXERCICE 1
PartieI.De´finitionetpremie`respropri´et´es
Soitn∈NtinfielO.e´dnnime`erardpegeneomnˆeLedlypo
21knX=n0nk21)n−k(X+
Ln(X) = (X−
On obtient

L0(X)
L1(X)
L2(X)

L3(X)

=
=
=

=

1
X
−13+X2
2 2
−3X5X
2+23

1)k

N
dans l’expression deLn, nous

Eneffectuantlechangementd’ind´etermin´eeX↔ −X
obtenons
Ln(−X)1=2nXn0kn2(−X−1)n−k(−X+ 1)k
k=
n
=21nX nk2(−1)n−k+k(X+ 1)n−k(X−1)k
k=0
(−1)n2k
=kn=Xn0kn(X+ 1)n−k(X−1)
2
= (−1)nLn(X)

Nb :u´cehcaoutl´eeddegnatldinrgee´meciinee`id’adrnelk↔n−k.
Notons pour tout entier naturel non nuln∈N⋆,Fn= (X2−1)n= (X−1)n(X+
Calculonslad´eriv´eenieme`deFnedali’alead`Formule de Leibniz. Il vient :
Fn(n)=k=Xn0kn(X+ 1)n(k)×(X−1)n(n−k)
k=0nk(nn−!k)!(X−1)
=Xnn−k×kn(!!X+ 1)k
!kXn=0n2X−1)n×(X−1)k=n! 2nLn(X)
=kn(

1

N
1)n.

N

4.a.mes,spolynˆorgedede´slucelrusdlealecesslegr`rpe`d,a’obdrdta’TouLneesdtdege´rn.
Deplus,lemonˆomedominantdeLnonpanitiriaeda`’l´dfieedale´enndost
k1nn
=nX
dnXn=12knXn=0nk2Xn−kXk=0nk2X
2

b.

1.

2.

D’autrepart,commelemonˆomedominantdeFnestX2n’sneustiuqlemenomeˆo,il
nn)e2(tsn)!Xn.
dominant deF(neocffiedcs,slieitndentParitionifica!itsuens’equdn=
(2n!)`:eluo’tnri
21n(n!)2, d’o
n)!
kXn=0k2(=(2n!n)2
N
X  

Parde´finition,)=1n−1nk2(X−1)n−k(X+ 1)k12+n(X+ 1)n. Comme 1 est
Ln(X2n
k=0
clairement racine de chacun desn−re1permierstdsemteceoset,emmilenr´esulteque
n
˜ 2
Ln(1) = 2n= 1.N
PartieII.RacinesdespolynoˆmesdeLegendre
Pour tout entier naturel non nuln∈N⋆nfie´eltidno,elypoomnˆFn= (X2−1)net pour
toutp∈[0 n]], Δp=Fn(p).
Soitp∈[0 n−]1e1tn,ioitfin´erdPa].−1 sont racines deFneimcuilttdriepdldga’lor´e´e
a`nr`apd’t,laesraocP.uqnesne´asire´tcrsednoitracaacinesmultiples, nous avons

•Δ0(1) = Δ1(1) =  = Δn−1(1) = 0
•Δ0(−1) = Δ1(−1) =  = Δn−1(−1) = 0

En particulier, 1 et−1 sont racines de Δp. Par consequent, (Δpest divisible parX−1 et
´
Xenrsieem,Δuxeetrsoesprntlypoomnˆsec,xuededemsulp+1.Compest divisible par
leur produitX2−1.N
Montronsparr´ecurrencefiniesurp∈[0 n]] que Δps’annule au moinspfois dans l’inter-
valle ]−11[.
•Initialisation :Δ0(X) = 1 s’annule exactement 0 fois sur ]11[.
•´tid:e´He´resoitp∈[0 n−1]] tel que Δps’annule au moinspfois dans l’intervalle
]−11[. Notons−1< a1<  < ap<1 ces racines de Δpfiasna’dnteosopgerll´e
les notationsa0=−1,ap+1= 1.
En ce cas, fixonsk∈[0 pouqilppate]]Rolle`alafonctiosnelhte´roe`emedlopn-ony
˜
miale Δp(de classeC∞) dans l’intervalle [ak ak+1].
Comme Δps’annule enaket enak+1eoh´emr`leesttdirnuelee´isexil,r`apd’tebk∈
]ak ak+1[ tel que Δ′p(bkeΔ-ta`d-ri=),0’csep+1(bk) = 0.
Ainsi, nous avons construitb0     bptels queb0<  < bpet∀k∈[0 p]], Δp+1(bk) =
0. En particulier, Δp+1s’annuleat leastp fois dans l’intervalle ]+ 1−11[.

2

3.

1.

2.

3.

•Conclusion :urefincesni´rceruerpraptuotruo,usnoe´vupeuqnovaorpsp∈[0 n]],
Δps’annule au moinspfois dans l’intervalle ]−11[.N
Remarque :trvotteatiensuonta’jerith´er´edit´e,lrfeiaqteuadsn’lp∈[0 n−1]] tandis
que dans la conclusion,p∈[0 n.ch´e..ir`a!!eflr´gelati´la`afottu’est]].C

En particulier, pourp=n,Lnadmet au moinsnracines distinctesdans l’intervalle
]−11[. Comme d’autre part, nous savons queLn´redegesedtn, iladmet au plusn
racines distinctesraP.t,enqu´enscoLnadmet exactementnracines distinctes, elles sont
r´eellesetcomprisesstrictemententre−1 et 1.N

`
PROBLEME 1
´
Partie I. Etude de deux applications
Onde´signeparB= (1 X X2) la base canonique deR2[Xeuxapplifinitlesd]O.dne´snoitac
suivantes :

f:

R2[X]→R2[X]
P7→12P2X+PX+21

et

ϕ

:

R2[X]
P

→
7→

R
˜
P(1)

Montrons quefest un endomorphisme deR2[X].
•ftsil´naeri.eoSti(eP Q)∈R2[X]2, (λ )∈R2. On a
f(λP+Q)=12(λP+Q)X2+ (λP+Q)X21+
=λ21P2X+PX+12+12QX2+QX21+
=λf(P) +f(Q)

•f:R2[X]→R2[X]. SoitP∈R2[X] en composantPavemoˆnedseselcylopgrde1´e
21Xou12(Xonob+1),tenctienseoprodemoseylˆnedemmˆdeueeqr´egP, donc de
degre´inf´erieurou´egal`a2.Finalement,commelasommedepolynoˆmen’augment
pasledegre´,onabiend˚f(P)≤2.
Montrons queϕsurairein´ermelenofseutR2[X]. Il est clair que pour toutP,ϕ(P)∈R.
Montrons queϕire.Soitstlin´ea(eP Q)∈R2[X]2, (λ )∈R2. On a

˜ ˜
^
ϕ(λP+Q) = (λP+Q)(1) =λP(1) +Q(1)
=λϕ(P) +ϕ(Q)

On sait que l’image defetseamegdsseevtcuesrendgaelnadbre´seeparlesiB:
Imf=Vectf(1) f(X) f(X2)

Or :
1
f(1) = 1 f(X) = 4 (2X+ 1) f(X221=(8)X2+ 2X+ 1)
La famille114(2X+ 1)81(2X2+ 2X+ 1)fanetuesece´llmieeendegr´helonn´e
R2[X . Par ´ ent,]. En particulier elle est lib il s’agit d’une base deImf.
re consequ

3

dans

4.

5.

6.

1.

2.

3.

4.

D’apre`slaquestionpre´d´edente,onsaitque(f(1) f(X) f(X2nne´e´eceeholllmifanetues))
endegr´edansR2[X]. Il s’agit donc d’une base deR2[X]. Par suiteftransforme une base
deR2[X] en une base deR2[Xalse`rpaD’].rohpsiemdsperarisationdesautome´tcarac
les bases,fest un automorphisme deE.
SoitP∈R2[X’la`.]ladedeai´ectracacaniedrsitnoirases, on a

˜
P∈Ker(ϕ)⇐⇒ϕ(P) = 0⇐⇒P(1) = 0
⇐⇒(X−1)|P(X)
⇐⇒∃(a b)∈R2 P(X) = (X−1)(aX+b) =a(X2−X) +b(X−1)

Finalement,Kerϕ=Vect(X2−X X−.Ces1)polydeuxseneˆnmoertnegdnKerϕ. En
outre,ilssontnoncoline´airesdoncilsformentunefamillelibre.C’estdoncunebasede
Kerϕ.
Kerϕest non trivial doncϕn’est pas injective.Kerϕn’est pasR2[Xiren´ealcnod]ilemrofa
ϕn’est pas constante. Elle est donc surjective.
Partie II. Calcul des puissances d’une matrice

On noteI3titnediecirtamalde´eM3(R) etA∈ M3(R) la matrice :
A=00011414812141

Enfin, on noteB′la famille deR2[Xiefinrpad]e´B′= (1−2X+ 16X2−6X+ 1).
B′= (1−2X+ 16X2−6Xseut+)1imllenafnade´rgesloheece´ndee´ennR2[X]. Il s’agit
donc d’une base deR2[X].
SoitQepniarecirfie´dltamaQ=100−120−16Qffidiaacoeire`gulairnasettxuanog
6
non nuls, donc elle est inversible etQ−1=001−21120−21136161=6300−213.
0−3
1
M=Q−1×A×Q= Diag(1214).

Rq :Msentativedeesmaltirtaerece´rpfdans la baseB′.

Soitn&#