Correction : Géométrie, Points équidistants de deux droites
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1.
2.
3.
1.a
1.b
1.c
1.d
2.a
2.b
3.a
Correction
Partie I
Le triangle ( rectangle en) estdonc2=2+2≥avec égalité ssi2=0 .
Ainsi≥avec égalité ssi=.
∧=∧+∧or∧=par produit vectoriel de vecteurs colinéaires et
∧= car les vecteursetsont orthogonaux.
Par suite∧= et donc(,)==∧.
0 0 1 2
La droitepasse par0 et est dirigée par colinéaire à celui obtenu par1 (vecteur1∧−1 ).
1−1 1−1
−4
∧1 donc(,)=
1
16+1+1 3 .
=
2
Partie II
+2=2+2+2cosθ=2+2 cosθ=4 cos2θdonc+=2 cosθ.
2 2
−2=2+2−2cosθ=2−2 cosθ=4 sin2θdonc−=2 sinθ
2 2
Posons + −or (+)⋅(−)=2−2=0 donc⋅=0 .
⋅ = ⋅
+
−
donc (;,, un repère) est é d
Les vecteur orthonorm orthogonaux car irectet sont=∧.
++−=+ = +
=12(( ) ( ))s1co(22θis2n2θ2) cosθ2sinθ2.
θ θ
.
=21((+)−(−)) =s2oc2(21−2 sinθ2)=cosθ2−2ins
est orthogonal àetdon à+
cet−et doncest orthogonal àet .
Par suite=avec∈ℝ.
Puisque que= ′, on a−′==.
Enfin≠0 car≠′puisqueet′ne sont pas sécantes.
(,)=∧=(−)2+cosθ2−sinθ22.
′=′∧= + +θ+θ2
(, ) ( )22soc2ins.
∈ Σ ⇔(,)2=(,′)2⇔sinθ+2=0 .
DoncΣ:sinθ+2=0
.
Sia pour coordonnées,dansΠ, ses coordonnées dans l’espace sont,,.
2
Un tel point appartient àΣssi=λavecλ= −.
sinθ
3.b
4.a
4.b
Si=0 alorsΣ ∩ Π (est la réunion des axes) et () .
Si≠0 alorsΣ ∩ Πest une hyperbole du planΠgraphe de la fonction֏λ.
Sia pour coordonnées,dansΠϕ, ses coordonnées dans l’espace sont=cosϕ,=sinϕ,.
Un tel point appartient àΣssi2cosϕsinϕsinθ+20 .
=
Si cosϕsinϕ=0 (i.e.ϕ=0π alors2 )Σ ∩ Πϕest la droite intersection deΠϕ (et du plan) .
Si cosϕsinϕ≠0 alors une équation deΣ ∩ Πϕest2=avec= −2cosϕsinϕsinθ.
Il s’agit d’une parabole d’axe focal vertical.
