Cours de géométrie élementaire - Accès à l'enseignement supérieur, Coniques

Coniques 1

CONIQUES

I - Courbes planes du second degré
r r
Il s’agit des courbes planes qui ont dans un repère orthonormé (O,i , j) une équation
2 2 de la forme : Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0 avec (A, B,C) ≠ (0,0,0) .
1) Réduction de l’équation
a) Rotation du repère
On effectue une rotation d’angle de mesure θ et de centre O. Donc on obtient un
r r r rr r r r
nouveau repère orthonormé (O,u,v) où u = i cos θ + j sin θ et v = −i sin θ + j cosθ .
r r
Le point M qui a pour coordonnées (x, y) dans (O,i , j) a pour coordonnées (x', y')
r r r r x = x'cosθ − y'sin θ
dans le nouveau repère. Donc : OM = xi + yj = x'u + y'v . Donc . 
y = x'sin θ + y'cosθ
r r
Donc la courbe a pour équation dans le repère : (O,u,v)
2 2A(x'cosθ − y'sin θ) + 2B(x'cosθ − y'sin θ)(x'sin θ + y'cos θ) + C(x'sin θ + y'cosθ)
+ 2D(x'cos θ − y'sin θ) + 2E(x'sin θ + y'cos θ) + F = 0
Ce qui donne en développant :
2 2 2 2 2x' (Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ) + 2x' y'[(C − A)sin θcosθ + B(cos θ − sin θ)]
2 2 2+ y' (Asin θ − 2Bsin θcosθ + C cos θ) + 2x'(D cosθ + E sin θ) + 2y'(−Dsin θ + E cosθ) + F = 0
Le coefficient du terme x' y' est donc : α = (C − A)sin 2θ + 2B cos 2θ .
2B
Si C ≠ A, il existe un réel θ tel que , et dans ce cas α = 0 . tan 2θ = −
C − A
π
Si C = A , pour θ = , on a α = 0 .
4
Donc il existe un repère orthonormé (obtenu par rotation) dans lequel l’équation de la
2 2
courbe est de la forme : A' x' +B' y' +2C' x'+2D' y'+E'= 0 avec (A', B') ≠ (0,0) .
2 2Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ = 0
En effet, si A'= B'= 0 , on a : .  2 2Asin θ − 2Bsin θcosθ + C cos θ = 0
2 2Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ = 0
Donc : (en additionnant). 
A + C = 0
Acos 2θ + B sin 2θ = 0
Donc : (en additionnant). 
C = −A
π
Si C = A , c’est impossible car on aurait A = C = 0 , donc B = 0 car . θ =
4
2B B
Si C ≠ A, on a tan 2θ = − , ce qui donnerait tan 2θ = avec C = −A . On
C − A A
2 2 A + B
aurait donc cos2θ  = 0 , donc A = B = 0 , ce qui est aussi impossible.  A 
b) Translation du repère
2 2L’équation est maintenant A' x' +B' y' +2C' x'+2D' y'+E'= 0 avec (A', B') ≠ (0,0) .
2 2 2 2
 C'  D' C' D'
• Si A'≠ 0 et B'≠ 0 , l’équation équivaut à A' x'+ + B' y'+ + E'− − = 0 .     2 2A' B' A' B'   Coniques 2

C' D' r r 
Donc si Ω est le point de coordonnées − ,− dans (O,u,v) , l’équation de la  
A' B' 
r r 2 2courbe dans le repère (Ω,u,v) est de la forme : A' X + B'Y + F'= 0 avec
(A', B') ≠ (0,0) .
2 2C' C' 
• Si A'≠ 0 et B'= 0 , l’équation équivaut à A' x'+ + 2D' y'+E'− = 0 . Donc si Ω   2A' A' 
C' r r 
est le point de coordonnées − ,0 dans (O,u,v) , l’équation de la courbe dans le repère  
A' 
r r 2
(Ω,u,v) est de la forme : A' X + 2D'Y + F'= 0 avec A'≠ 0 .
2 2D' D' 
• Si A'= 0 et B'≠ 0 , l’équation équivaut à B' y'+ + 2C' x'+E'− = 0 . Donc si Ω   2B' B' 
D' r r 
est le point de coordonnées 0,− dans (O,u,v) , l’équation de la courbe dans le repère  
B' 
r r 2(Ω,u,v) est de la forme : B'Y + 2C' X + F'= 0 avec B'≠ 0 .
c) Equations réduites
On peut remarquer que l’on peut supposer le coefficient du premier terme positif, et
donc toute courbe plane (Γ) du second degré admet une équation de l’un des 4 types :
2 2
• A' X + B'Y + F'= 0 avec A'> 0 et B'> 0 .
o Si F'> 0 , alors (Γ) = .
o Si F'= 0 , alors (Γ) = {Ω}.
2 2
X Y
o Si F'< 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite + = 1 en
2 2
a b
F' F'
posant a = − et b = − . Une telle courbe s’appelle une « ellipse ».
A' B'
2 2• A' X + B'Y + F'= 0 avec A'> 0 et B'< 0 .
A'
o Si F'= 0 , alors l’équation équivaut à Y = ±X − . Donc la courbe (Γ) est
B'
la réunion de deux droites sécantes en Ω .
2 2
X Y
o Si F'< 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite − = 1 en
2 2
a b
F' F'
posant a = − et b = . Une telle courbe s’appelle une « hyperbole ».
A' B'
2 2
X Y
o Si F'> 0 , alors la courbe admet pour équation réduite − = −1 en (Γ)
2 2a b
F' F'
posant a = et b = − . Une telle courbe est aussi une « hyperbole ».
A' B'
r r
On donne le même nom car l’on remarque que changer le repère (Ω,u,v) en
r r
(Ω,v,u) intervertit X et Y, et donc intervertit les deux derniers cas.
2• A' X + 2D'Y + F'= 0 avec A'> 0 .
o Si D'= 0 :
Si F'> 0 , alors (Γ) = .
r
Si F'= 0 , alors est l’axe d’équation X = 0 . (Γ) (Ω,v)
F'
Si F'< 0, alors l’équation équivaut à X = ± − , donc la courbe (Γ) est
A'
r
la réunion de deux droites parallèles à l’axe (Ω,v) . Coniques 3

2D' F' 2
o Si D'≠ 0 , alors l’équation équivaut à X = − Y + , donc la courbe  
A' 2D' 
r r2
(Γ) admet pour équation réduite X = 2 pY dans le repère (Ω',u,v) où
D' F' r r 
p = − et où Ω' a pour coordonnées 0,− dans (Ω,u,v) . Une telle  
A' 2D' 
courbe s’appelle une « parabole ».
2• B'Y + 2C' X + F'= 0 avec B'> 0 . On peut remarquer que si l’on intervertit X et
Y, on retrouve la forme précédente. Donc :
o Si C'= 0 :
Si F'> 0 , alors (Γ) = .
r
Si F'= 0 , alors (Γ) est l’axe (Ω,u) d’équation Y = 0 .
F'
Si F'< 0, alors l’équation équivaut à Y = ± − , donc la courbe (Γ) est
b'
r
la réunion de deux droites parallèles à l’axe (Ω,u) .
2o Si C'≠ 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite Y = 2 pX . Une
telle courbe est aussi une « parabole ».
Conclusion Toute courbe du second degré non vide est :
- soit réduite à un point.
- soit la réunion de deux droites sécantes.
- soit la réunion de deux droites parallèles, éventuellement confondues.
2 2
x y
- soit une ellipse d’équation réduite + = 1 (cercle si a = b ).
2 2a b
2 2 2 2
x y x y
- soit une hyperbole d’équation réduite − = 1 ou − = −1.
2 2 2 2a b a b
2 2 - soit une parabole d’équation réduite x = 2 py ou y = 2 px .
2) Etude des courbes
a) Etude de la parabole
2 On étudie d’abord la parabole d’équation réduite x = 2 py avec p ≠ 0 , qui est la
1 2 courbe représentative de la fonction f définie par : f (x) = x .
2 p
La fonction est paire. Son sens de variations et ses limites dépendent du signe de p.
Si p > 0 : Si p < 0 :
x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ 0 + ∞
f ' f ' − 0 + + 0 −
+ ∞ + ∞ 0
f f
0 − ∞ − ∞

On dira que l’on a une parabole de sommet O(0,0) , d’axe d’équation x = 0, de paramètre p.
2 On en déduit l’étude de la parabole d’équation y = 2 px en inversant les rôles de x et y. Coniques 4



Si p > 0 : Si p < 0 :

On dira que l’on a une parabole de sommet O(0,0) , d’axe d’équation y = 0 , de paramètre p.
b) Etude de l’ellipse
2 2
x y
L’ellipse d̵