Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes

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2011

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Catherine Laidebeure

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01 janvier 2011

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Polynômes

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ECS 1

POLYNOMES Dans tout le chapitre,K désignera soit, soit. On remarquera que dans les deux cas⊂Kde polynômes à coefficients réels ou complexes.. On parlera I - Généralités 1) Fonctions monômes Définition : Une fonctionfest une fonction monôme s’il existe un entiern∈et un élémenta∈Ktels que :∀x∈K f(x)=axn. Sia=0 alors∀x∈K f(x)=0 . On dira quefest le monôme nul. , Réciproquement, si∀x∈K f(x)=0 , alorsa=f(1)=0 . Sia≠0 , alors on peut remarquer quea etn uniques. En effet, supposons que sontf admette deux décompositions :∀x∈K f(x)=axn=bxpavecaetbnon nuls. Tout d’abord on remarque quea=b=f Si(1) .n≠p, l’un d’eux est plus petit que l’autre, par exemplep<n. Or :∀x∈K xn=xp, donc∀x∈xn=xp, donc ∀x∈*xn−p=1. Or c’est impossible carn−p> 20 , doncn−p>1 . Définition : Sifest une fonction monôme non nul, il existe un unique entiern∈et un uniquea∈Ktels que :∀x∈K f(x)=axn. L’entiernest le degré du monôme et amonôme. Par convention, le degré du monôme nul estle coefficient du −∞. Notation : La fonction monômeest notéeX, et doncxxnest notéeXn. Donc tout monôme non nul s’écrit de manière uniqueaXnavecaetnuniques. 2) Fonctions polynômes Définition : Une fonctionPest une fonction polynôme si c’est la somme d’un nombre fini de fonctions monômes. Si toutes les fonctions monômes sont nulles, alors∀x∈K P(x)= On dira que0 .P est le polynôme nul. Sinon, comme c’est une somme finie, on désigne parn le plus haut des degrés des monômes non nuls. Donc il existe un entiern∈ et des coefficients réels ou n complexes (a0,a1,...,an)∈Kn+1avecan≠0 tels que :∀x∈K P(x)=akxk. k=0 Montrons par récurrence surnquePne peut pas être le polynôme nul. Initialisation évidente pourn=0 . Hérédité : On suppose, pourn∈ coefficients (, que s’il existe desa0,a1,...,an)∈Kn+1 n avecan≠ que :0 tels∀x∈K Pn(x)=akxk, alorsPnn’est pas le polynôme nul. k=0 Montrons la propriété pourn+1. SoitPn+1un polynôme tel qu’il existe des coefficients n+1 (b0,b1,...,bn+1)∈Kn+2 avecbn+1≠ :0 vérifiant∀x∈K Pn+1(x)=bkxk. Montrons k=0 en raisonnant par l’absurde quePn+1n’est pas le polynôme nul. Supposons que∀x∈K Pn+1(x)=0. Donc en particulier,Pn+1(0)=0 , doncb0=0 .

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