Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Systèmes d'équations linéaires

Systèmes d’équations linéaires

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SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES

Dans tout le chapitre,K

I Définitions

ouK

.

ECS 1

1) Equations linéaires
Définition : On appelle équation linéaire àpinconnuesx1,x2,,xptoute équation
de la forme :a1x1a2x2...apxpb.
Les élémentsa1,a2,,ap etb appartiennent àK et sont les coefficients de
l’équation.
L’équation est homogène sib0 .
Une solution de cette équation est unp-uplet (oup-liste) (1,x2,...,xp)Kp qui
vérifie l’équation.

Résoudre l’équation, c’est trouver l’ensembleSde toutes les solutions.
Définition : Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de
solutions.
Si tous les coefficientsajsont nuls et sib alors0 ,S.
Si tous les coefficientsajsont nuls et sib0 , alorsSK.

2) Systèmes d’équations linéaires
Un système denéquations linéaires àpinconnues est un système de la forme :
aa11xx1aa12xx2...aa1pxxpbb1
an112..x.11......a..n2.22...x.22...................a..2n..pp..x..pp.....bn2
On noteaij le coefficient dexjdans la ligneLi. Les solutions sont lesp-uplets (ou
p-listes) (1,x2,...,xp)Kpqui vérifient simultanément lesnéquations.
Résoudre le système, c’est donc trouver l’ensembleS toutes les solutions. C’est de
l’intersection des ensembles de solutions de chaque ligne :SS1S2...Sn.
Si tous les coefficientsaij la ligne deLi nuls et si sontbi alors0 ,Si , donc
l’intersection estS.
Si tous les coefficientsaijde la ligneLisont nuls et sibi alors0 ,SiK, doncS
est l’intersection de tous les autres ensembles de solutions, ce qui revient à dire que
l’on peut supprimer la ligneLisans changer l’ensemble de solutions.
Deux systèmes sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.

II Méthodes de résolution

1) Méthode de substitution
Le principe est de choisir une équation, de calculer dans cette équation l’une des
inconnues en fonction des autres, puis de la remplacer par cette expression dans toutes
les autres équations, puis de recommencer.

Systèmes d’équations linéaires

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ECS 1

Remarque : L’interversion des lignes ne change pas l’ensemble des solutions.
2xyz7
Exemple: (1)34x3y23z27
x y z
72xy
(1)43xxz37yy22x3((77y22xxyy))7)(1c : don2 10x6y28
     7x3y16
(1)75xx733yy2x1164y donzy72xxy
c : .
145(1)33
7x331453x16
72xy72xyx1
Donc : (1)y31435x :ncod) (1y13435x : )1( cnodyz. 32
2x2x1
Le système a un unique triplet solution (1,3,2) . EtS(1,3,2) .
Définition : Un système de Cramer d’ordrenest un système denéquations linéaires à
ninconnues qui admet une unique solution.

2) Méthode du pivot de Gauss
L’idée principale est de se dire que certains systèmes sont plus faciles à résoudre que
d’autres :
2x y z
(1)43x2xx32yyy3zzz27uosér à euq erdmoinest ciles fa)(27 7yz7 1 73
z
Plus le système a de coefficients nuls, plus il est facile à résoudre.
On détermine donc des opérations élémentaires sur les lignes qui transforment le
système en un système équivalent plus facile à résoudre.
On obtient un système équivalent :
- en intervertissant deux lignesLietLj(opération codéeLiLj).
- en multipliant une ligneLipar un réel non nulk(opération codéeLikLi).
- en ajoutant à une ligneLiune autre ligneLj(opération codéeLiLiLj).
La démonstration en est évidente.
Chaque opération élémentaire doit être codée.
La méthode du pivot de Gauss est simplement l’organisation d’une succession de ces
opérations élémentaires pour aboutir à un système triangulaire ou diagonal. Cette
méthode a l’avantage d’être souvent la plus économique et surtout de pouvoir être
programmée sur ordinateur.

Exemple 1: (1)43x2xx3yyy32zzz 7 .72


Systèmes d’équations linéaires

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ECS 1

L1L1
L2 L22L1
L3 L33L1

On choisit une ligne de référence que l’on garde intacte (iciL1) et on la combine avec
les autres lignes pour éliminer une variable (icix) dans les autres équations.
2x y z7L1L1
(1)y5z7L23L232L11
y7z17L2L3L
Ensuite, on garde toujours intacte la première ligne et on recommence le procédé avec
le système formé par les autres équations. La nouvelle ligne de référence seraL2et la
variable éliminée seray(car c’est la variable dont les coefficients sont les plus simples).
(1)2xyy5zz77LL21LL1
    2
12z24L3L3L2
Un tel système se résout aisément en commençant par la dernière équation.
1
x  z.
On trouve 2 , puisy5z puis 27 3 , (7y) 1
Le système a un unique triplet solution (1,3,2) . EtS(1,3,2) .
Parfois la résolution aboutit à l’un des cas particuliers cités au 1) :
x y z
e 2:y z
Exempl(2)32xxx232yyy1783zzzoD .1 nc13)2(42y238z538
2y3z3L1L1
Donc (2)yx2z5L2L2
0 12L3L34L2.
La dernière équation n’a pas de solution. DoncS.
2 3 6
Exemple 3: (3)2xxxyyy4zz (3) Donc2 .x552yyy01031zzz10610LL32L1LL32L142LL11
4 32z14
x2y3z6L11L1 dernière équation est identi ment
(3)y2z2L25L2. La que
00L3L3L2
:x2y3z6
vérifiée pour tout (x,y,z (3)) . Donc on peut la supprimer. Doncy2z2.
Il n’y a pas assez d’équations pour calculerx,y etz. Donc on exprime deux des
inconnues en fonction de la troisième : (3)xy2zz22 lesTous. l a sedlptet ir
forme (z2,2z2,z) oùzquelconque sont solutions. Il y a donc une un réel est
infinité de solutions etS(z2, 2z2,z) /z.

3) Ecriture matricielle
On constate en réalité que les manipulations sur les lignes ne sont guidées que par les
coefficients du premier membre. De plus, est-il utile de réécrirex,y etz à toutes les
lignes? On associe donc à tout système linéaire le tableau des coefficients des premiers
membres (matrice du système) éventuell