Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Suites et séries réelles

Chapitre

Tabledesmati`eres

1

2

3

4.

1

Suites

et

´ i s
ser e

re´elles

Rappels sur les fonctions
1.1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1Logarithmen´epe´rien......................................
1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1Polynoˆmesetfonctionsrationnelles..............................
1.2.2 Croissances ´es de f ctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
compare s on
1.2.3Limitesusuellesissuesducalculdesde´rive´es........................
1.2.4Ope´rationssurleslimites...................................
1.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rappels sur les d´ i ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
er vees
1.4.1D´efinitions...........................................
1.4.2Equationdelatangente`alacourbedef . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en un point
1.4.3De´riv´eesetop´erations.....................................
1.4.4D´erive´esd’ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.5 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6Ine´galite´desaccroissementsfinis...................................

Suitesr´eelles
2.1G´ene´ralite´s...............................................
2.2Equivalenceetn´egligeabilit´e......................................
2.3Suitede´finieparsontermeg´ene´ral..................................
2.4Suited´efinieparunerelationdere´currencesimple.........................
2.4.1 Rappels sur les suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2Th´eor`emesutiles........................................
2.4.3M´ethoded’´etuded’unesuitere´currente...........................
2.5Suitesde´finiesimplicitement......................................
2.5.1Suitesd´efiniespar:untuoidnlesestloitauqe´’nof(x) =n. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2Suitesde´finiespar:unniostsoeitulednoe´’ltauqf(x) = 1n. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3Suitesd´efiniespar:unle´’qeauitnoestsolutiondfn(x . . . . . . . . . . . . . . . .) = 0
2.6Suitesde´finiesparunerelationdere´currenceline´airea`deuxtermes...............
2.7Suitesde´finiesparuneint´egrale....................................
2.8Suitesetalg`ebreline´aire........................................

Seriesre´elles
´
3.1G´en´eralit´essurless´eries................................
3.2 S´ ies usuelles . . . . . .
er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1S´erieharmonique................................
3.2.2S´erieharmoniquealtern´ee...........................
3.2.3Se´riesdeRiemann...............................
3.2.4Se´riesg´eom´etriques...............................
3.2.5Se´riesassoci´ees`adess´eriesg´eom´etriques..................
eralxn. . . . . . . .
3.2.6S´eriedetermeg´en´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .! .
3.3Etudedesse´ries`atermespositifs...........................
3.4Se´riesabsolumentconvergentes............................

Brigitte

Bonnet,

Lyc´eeInternational

de

Valbonne

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Rappels sur les fonctions

1.1 Fonctions usuelles

1.1.1Logarithmen´epe´rien

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De´finition1:La fonctionlnest la primitive surR∗+la fonction inverse, qui s’annule en 1.de
Propri´et´es:ln(ab) = lna+ lnblnba= lna−lnb

Limites :lim lnx=−∞
x→0+

lim lnx= +∞lim lnx= 0
x→+∞x→+∞x

La courbe de la fonctionlnadmet unebranche paraboliquede directionOx.
Tangente au point (1,0) :y=x−1
Convexit´e:f00(x) =−x12, donc la fonctionlnonrcPan.ioitfin´ealtneuqe´savesconcestdedemelbensnruos
courbe est en dessous de ses tangentes, et en particulier :

∀x∈R∗+lnx≤x−1

1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex

De´finition2:fla fonction reciproque de la fonctionest ln:y=ex⇔x=ln(y)
´
Propri´tes :
e
`
•feiusrestd´efinRet a valeurs dansR∗+.

•ea+b=eaeb(ex)a=eax 1et en particulier :
−x=
e
ex

Limites :limex= 0
x→−∞

limex= +∞
x→+∞

limex= +∞
x→+∞x

limxex= 0
x→−∞

La courbe de la fonction exponentielle admet unebranche paraboliquede directionOy.
Tangente au point (0,1) :y=x+ 1
Convexite´:f00(x) =ex, donc la fonction exponentielle est convexe surR.Parneltcauoocsne´uqeerbaust
dessus de ses tangentes, et en particulier :

1.1.3

Exponentielle de basea

∀x∈R

ex≥x+ 1

D´efinition3:Soitatpenitos.Lifxp’ernulee´irtsmetcnoneitleeledabesaest la fonctionfa:arepniefid´

fa(x) =ax=exln(a)

.
Propri´et´es:
•Sia >1 alorsfaest croissante surRˆmsesemessetltnoestlmilieitleeld(eenpxnoneafonctioquepourl
basee).
•Sia <1 alorsfatnasrused´ecroisestRet les limites en plus et moins l’infini sont interverties.

1.1.4 Fonctions puissances

De´finition4:Soitαrunr´eelquelcoqneuO.dne´nfitiusR∗+la fonctionfαpar :

D´eriv´ee:

fα0(x) =αxα−1

fα(x) =xα=eαln(x)

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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•Siα <0xl→im0+fα(x) = +∞etxl→i+m∞fα(x)0=l:seeduxaxessontasymptala`seto.ebruoc
•Siα= 0fαest la fonction constante de valeur 1.
•Si 0< α <1 lim0+fα(x) = 0 etxl→i+m∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par
x→
continuit´een0.
lxi→m0fα(xmil=)xα−1= +∞donc la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse 0.
xx→0
limfα(x lim) =xα−1= 0 donc l ranche
x→+∞xx→+∞a courbe admet une b de direction paraboliqueOx.
•Siα= 1fα(x) =xediteventar´eserepourbac:lfαpaerselt.eictrecssbire`emi
´
•Siα >1xl→im0+fα(x et) = 0xl→i+m∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par continuite
en 0.
limfα(xmli=)xα−1 donc= 0 la courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.
x→0xx→0
xli+m∞fα(xx)=xl→i+m∞xα−1= +∞donc la courbe admet une branche parabolique de directionOy.
→
Exercice :ntmesflephraueiqtcnosnoietgrsenepe´rRfαocserruxdiff´erpondantanestac.s

1.2 Limites usuelles

1.2.1Polynˆomesetfonctionsrationnelles

•La limite en +∞(resp. en−∞hauspldemeerntsoedelleca`elage´tmeesynˆonpolctiofeno’dnu)ut
degr´e.
•La limite en +∞(resp. en−∞uefxdtdeoisnnotcireu`a-dtiennquonoitllen’c(e-tse’u)dfonetincraon
polynoˆmes)est´egalea`celleduquotientdestermesdeplushautdegr´edunum´erateuretdud´enominateur.
Exemple :Soitf(x)x3−6xx22−1+4x alo+ 2
= rs limf(x) = limx= +∞
x→+∞x→+∞
Remarque :f(x)∼xquandxtend vers +∞.
On a aussi : lim (f(x)−x) = l→i+m∞−6x2+ 5x 6+ 2
=−
x→+∞xx2−1
La courbe de la fonctionfourametptotesympioetal