Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Réductions des endomorphismes

1

2

5.

Chapitre

des

R´eductions

Brigitte

endomorphismes

Lyc´ee

Bonnet,

de

International

Juillet

Valbonne

Matrices CL

2010

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Propri´ete´sdese´l´ntspropres
eme
3.1 Valeur propre nulle . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Intersection de deux SEP . . . . . . . . . .
3.3Re´uniondebasesdeSEP..........

Diagonalisation d’un endomorphisme

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Diagonalisation d’une matrice

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Propri´et´esdesvaleurspropresd’unematrice
6.1 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3Matricessyme´triques....................................
6.4Matrices`auneseulevaleurpropre............................
6.5Combinaisonlin´eairedematrices.............................
6.5.1 1eredelin´eairibansinocsaC:moAet deIn. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 2emeˆtlesaytricrppouesrevtcmesesrembCoaiins:caeriaamedlnose´ni
an es m

Polynoˆmeannulateur

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7

9

8

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6
6
6
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6
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5

8

7

10

9

d’une

Trace

matrice

Commutant d’une matrice, d’un endomorphisme

Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme

2

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Rappels techniques
1.1 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2
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Tabledesmatie`res

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3
3
3
3

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1.1

Rappels

techniques

Matrices diagonales

2

Definition 1 :Une matrice deMn(R) est ditediagonalesi tous ses coefficientsnon diagonauxsont nuls.
´
0,4)100000
Notation :diag(1,=0 0 4
Puissances successives d’une matrice diagonale :SiD=diag(α1, α2, . . . αn),Dp=diag(α1p, α2p, . . . αnp).

1.2 Matrices semblables

De´finition2:Deux matricesAetBsont ditessemblablessi il existe une matricePinversible telle que
B=P−1AP.
Remarque :´titnedieLceriatamIntse’nelm-eˆem.semblablequ’`ael

1.3 Matrice diagonalisable

De´finition3:Une matriceAdeMn(R) est ditediagonalisablesiAeictrmaneaue`blalbmestse
diagonale.Exemple :SoitA=−212−−122−225. On poseP=2110−−121
0 1
Le calcul donne :P−161=−−151122−−222puis :P−1AP=000101007
Int´erˆetpar exemple, pour calculer les puissances successives de cette: Diagonaliser une matrice est utile,
matrice. En effet, s’il existe deux matricesPetD, avecPinversible etDdiagonale telles queA=P DP−1,
alors pour tout entier naturelnon a :
An=P DnP−1

(`ade´montrerparr´ecurrence).OrDneaftser.lcul`acacile
Leproble`meestdonc:commenttrouverunematricePet une matriceDtelle queA=P DP−1? Et tout
d’abord, une matriceAsmatrsdesrice-e-tixtsjuuoliotet´tdann´on,eeePetDn?iostuednope´rqala`tna

2

Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme

SoitEun espace vectoriel etfun endomorphisme deE.

De´finition4:Unevaleur propredefl´reetsnueλtel qu’il existe un vecteur non nuludeEtel que :
f(u) =λu. L’ensemble des valeurs propres defle´eelppatsespectredef.

Remarque :λest valeur propre def⇔Ker(f−λid)6={~0}

Conse´quence:Si l’espace vectorielEest de dimension finie, et queAest la matrice defpraarppt`ora
une base B, une valeur propreλdefenu´retsleuqeetlla matriceA−λIn’est pas inversible`t’e,credia-
s -
telquelesyste`me(A−λI)XPor.trurveouesrlsysnme`tCedeemar=0n’estpasudeesprrospurlevafil
suffitdoncdemettrecesyst`emesousformetriangulaireetdede´termineralorslesvaleursdeλpour lesquelles
l’un des pivots est nul.

Exemple 1 :

Soitfl’endomorphisme deR3de matriceAdans la base canonique, avec
A=112121112

Ene´crivantlesyste`me(A−λI)X=0sousformedeamrtcicemolpe`et:
0
2−11λ12−1λ2−11λ0211−λ2−11λ2−11λ000⇔010
0⇔
1 1 2−λ
⇔010−0λ−λ2−5++1λλ−0004

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

1
1−λ
−1 +λ

2−λ
−1 +λ
−3 + 4λ−λ2

0
0
0



Juillet 2010

3

Lesyste`men’estpasdeCramersi,etseulementsi,1−λ= 0 ou−λ2+ 5λ−4 = 0. Les solutions de cette
e´quationsont1et4,donclesvaleurspropresdefsont 1 et 4.

D´efinition5:uestvecteur propredef,itesilextsi,emenseullee´rnuetsiλtel quef(u) =λuet
u6={~0}. On dit queuest vecteur propreassoe´icelavrpruala`reopλ.

De´finition6:Le sous-espace propre deflevala`areopprurice´saosλest l’ensemble des vecteursude
Etel quef(u) =λu. C’est donc l’ensemble des vecteurs propres defa`se´icossaλ, plus le vecteur nul.
Notation :Eλ={u∈E/f(u) =λu}

Remarque 1 :E0=Ker(f)

Remarque 2 :Eλsteenl’(syst`emeulitnoudesbmelosA−λI)X= 0, siEest de dimension finie etAest
la matrice defsebadeuaenro`tiaenectrrappparE.

Exemple 1 (suite) :rehCnohc1reptp4o.errsseeptcvismleensesaotusssc-eo´sipsaecae`s
E1:f(u) =u⇔(A−I)X= 0⇔000110001⇔z=−x−y
0 0 0
d’ou`:E1={(x, y,−x−y)/(x, y)∈R2}=V ect((1,0,−1),(0,1,−1))
E4:f(u) = 4u⇔(A−4I)X= 0⇔100−130−02300⇔y=z
0x=−y+ 2z
yx==zz
d’o`u:E4={(z, z, z)/z∈R}=V ect((1,1,1))

The´ore`me1:Eλest un sous-espace vectoriel deE

d´em:En effet,Eλ=Ker(f−λid).

3

Proprie´te´sdese´l´ementspropres

3.1 Valeur propre nulle

Th´eore`me2:fa pour valeur propre 0

⇔

An’est pas inversible

⇔

Cethe´or`emes’utiliseaussibienenprenantlecontrairedechaqueaffirmation.

3.2 Intersection de deux SEP

~
Th´eor`eme3:Siλ1etλ2sont deux valeurs propres def,Eλ1∩Eλ2={0}

fn’est pas bijectif.

⇔

de´m:Soitu∈Eλ1∩Eλ2: alorsf(u) =λ1uetf(u) =λ2ud’o`uλ1u=λ2uet donc, commeλ16=λ2,u=~0.

Danslesth´eor`emessuivantonappellenla dimension deE.

3.3Re´uniondebasesdeSEP

Th´eor`eme4:

Soitλ1, λ2, . . . , λpeldsedorpsserpvaesurle´eiffntref,
etB1,B2, . . . ,Bpdes bases respectives des SEPEλ1, Eλ2, . . . Eλp. Alors :
B1∪ B2∪. . .∪ Bpest une famille libre de vecteurs deE

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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Exemple 1 (suite) :CommeE1=V ect((1,0,−1),(0,1,−1)) etE4=V ect((1,1,1)), les trois vecteurs
(1,0,−1), (0,1,−1), (1,1,1) constituent une famille libre deR3et, par un argument de dimension, unebase
deR3.

Consequence :
´
SiEest de dimension finie, le nombre de valeurs propres defestau maximum`llae´agsienimaddeonE. En
effet le nombre de vecteurs d’une famille libre deEesttoueoidndilansmeegu´`aalire´orueruojfnisE.

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Diagonalisatio