Cours - Electrocinétique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Lois générales dans l'approximation des régimes quasi stationnaires

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Loisg´en´eralesdanslecadredel’ARQS

Loisg´ene´ralesdanslecadrede
l’ARQS

ARQS=ApproximationdesRe´gimesQuasiStationnaires,consiste`ane´gligerles
tempsdepropagationcequiestraisonnablesilesfre´quencesetlesdimensions
descircuitsnesontpastropgrandescequiseratoujourslecasenpremi`ereanne´e.

De plus dans ce chapitre, les grandeurs
gime continu.

Table des matieres
`

1

2

3

4

5

Courante´lectrique

Loi d’Ohm

electriques
´

seront

constantes

:

Composition des circuits
3.1Lesdipˆoles...............................
3.2Caract´eristiqued’undipoˆle......................
3.3Filsdeconnexion-Noeuds-Branche-Maille-Re´seau......

Lois de Kirchhoff
4.1 Loi des noeuds et conservation de la charge . . . . . . . . . . . . .
4.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puissancee´lectrocine´tiquere¸cueparundipˆole

6Mode´lisationsline´airesd’undipˆoleactif
6.1Repre´sentationdeh´Tenevin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2Repr´esentationdeNorton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7Th´eor`emesge´n´erauxrelatifsauxre´seauxline´aires
7.1Associations´eriededipoˆles-Diviseurdetension..........
7.2Associationparalle`lededipoˆles-Diviseurdecourant........

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

re-
´

1

2

2
2
2
3
3
3
4
4

4
4
5

5
5
5

1

Courant´electrique

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Conside´ronsuncircuittre`ssimple:unepilerelie´e`auneampoulepardeuxfils
conducteurs.

Lapilecre´euneitletoned´eiffncreepedentre les pointsAetB,VA−VB=UAB,
tensionentre les pointsAetB.

~
Cettediffe´rencedepotentielesta`l’origined’unchampe´lectriqueEqui
met en mouvement lesporteurs de chargenutestultar´es.Lecourant
´electrique.

Dansunme´tal,lesporteursdechargesontlesctronslibrese´el; dans les
semiconducteurs,cesontlese´lectronslibresetlestrous;danslesliquides
conducteurs=e´lectrolytes,cesontlesions.

Onde´finitl’snetniit´eeursneitquveraurantcomducoalhcraegeme´attn
sectiondufilconducteurparunite´detemps.
Sidqest la charge qui traverse la section pendant un intervalle de tempsdt:

I=dqdt

Ien amperes (A) ;
`
dqen coulombs (C) ;
dten secondes (s).
Exemple :I= 1mA, pendant 1s11ilya60−310A−1×91sC= 61015e−qui traverse la
section !

Remarque : le sens conventionnel du courant est celui des porteurs de
charges positifs.

L’e´lectrocine´tiqueestledomainedel’e´lectromagne´tismeo`ulesmanifestations
dumouveentdesporteursdechargesont´etudi´eesentermesdecourantsetde
m
tensions.

´
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2

Loi d’Ohm

Denombreuxconducteursve´rifient:

UAB=VA−VB=RI

UABtvnloueer´rtxeselertneleictduonucsd´eitemtensionoudi´ffreneecedopettn
(V) ;
Iniuranducoit´etensre(eadtnelsnrictalucenurp`amndcoteucA) ;
Rresistance en ohm (Ω).
´

Onpeutaussie´crireI=GUAB`ouG= 1Rest la conductance en sie-
mens (S).

Expe´rimentalement,lare´sistanced’unconducteurme´talliquecylindriqueet
homog`eneestproportionnelle`alalongueurlet inversement proportionnelle ` l
a a
surface de la sectionS.
R=Sρl=γ1Sl

ρΩen´eitrvitsise´m;
γΩendiuvocnt´ceit−1m−1ouSm−1.

3

3.1

Composition

Lesdiˆoles
p

des

circuits

Lebranchementd’undipoˆlesefaitparunepairedebornesoudepoˆles:

R

résistance

V

voltmètre

bobine

E

source idéale de tension

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condensateur

A

ampèremètre

K
interrupteur

I

source idéale de couran

3.2

Caract´eristiqued’undipˆole

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Larelationentrel’intensit´educourantIoˆpidelesrevartiqunsionleetlateU`a
sesbornescaracte´riseledipˆole.Cetterelationde´penddufle´chageetdoittoujours
eˆtreaccompagne´ed’unsche´ma:

I

I

I

R

U

E

U

I0

U

I

I

I

I0

E

´
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Retenons :

U=RIesistance.puouren´r

Enr´egimecontinu,labobinesecomportecommeunfil.

Enre´gimecontinu,lecondensateursecomportecomme
ouvert.

Unesource(ide´ale)detensionmaintiententreses
ind´ependantedel’intensite´ducourantquilatraverse.

U=E

un

bornes

interrupteur

une tension

Unesource(id´eale)decourantd´ebiteuncourantd’intensit´eind´ependantedela
tensionapplique´e`asesbornes.
I=I0

3.3Filsdeconnexion-Noeuds-Branche-Maille-R´eseau

Lescomposantsd’uncircuitsontrelie´spardesfils de connexionqui sont
desfilsconducteursdontlafaibler´esistanceestn´egligeabledevantlesautres
r´esistancesdumontage.U'0 aux bornes d’un fil de connexion.

Lesbranchementsdonnentnaissancea`cequel’onappelledesnoeuds
sont des points de jonction entre au moins 3 fils de connexion.

qui

Desdipˆolesmont´esens´erieentre2noeudsconstituentunebranche. Rappelons
que2dipoˆlessontmonte´sens´erielorsqu’ilsontunebornecommuneetlorsqu’ils
sonttraverse´sparlemˆemecourant.

Unensembledebranchesformantuncontourferme´quel’onpeutparcou-
rir en ne passant qu’une fois par chaque noeud est unemaille.

Et enfin unerse´uaarerile´pspmsonastlembcodeunstseencricetiuuo
desfilsdeconnexionquipeuteˆtreanalyse´entermesdenoeuds,brancheset
mailles.

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4

4.1

Lois de Kirchhoff

Loi des noeuds et conservation de la charge

page 3/6

Pourunnoeuddonne´,lasommedesintensite´sdescourantsquiyarriventest
´egale`alasommedesintensite´sdescourantsquienrepartent.

Exemple :I1+I3+I4=I2+I5

I2

I1

I3

I5

I4

C’estunecons´equencedelaconservationdelacharge,leschargesnepeuvent
ˆetrenicre´´ees,nid´etruites.

Enparticulier,l’intensite´estlamˆemeentoutpointd’un
vation (dans l’ARQS).

circuit

d´ri-
sans e

´
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4.2

Loi des mailles

Exemple :

5

A

D

UAB

B

C

VA−VB+VB−VC+VC−VD+VD−VA

UAB+UBC+UCD+UDA= 0

Puissance´electrocin´etique

A

I

R

U

rec¸uepar

B

= 0

un

dipoˆle

e charge qui entrent enA, leur energie estIdt×
´
q
ctr´etisme).
omagn

PendantdtilIdtrteu d
y a po rs
q
qVAporteurcrgied’un´flee(ene´
IlyenalemˆemenombrequisortentenB, leur energie estIdt×qVBloeelidˆp
´
q
re¸coitdonc l’energieδW=Idt(VA−VB) =U Idtpaiussnaecreoricquald`onspec
´
¸
recue
P=δWdt=U I

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Undipˆolea`uncomportementr´ecepteursiP>0.

en gen
Undipoˆlea`uncomportemt´´erateursiP<0.

Undipoˆlepeutavoiruncomportementr´ecepteura`certains
uncomportementgenerateura`d’autresmoments(ex.batterie).
´ ´

Pourunere´sistanceU=RI:

6

P=U I=RI2

Mode´lisationslin´eairesd’un

dipoˆle

Consiste`alin´eariserlacaract´eristiquedudipoˆle:
I

6.1

I

U

I0

Repr´esentationdeThe´venin

E

actif

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moments

et

U=E−RI
Ledipˆolepeuteˆtreconsid´er´ecommel’associations´eried’unesourcedetension
Eceane´retsiste)enu’dion`avid(tensR(pente) :

I

E

U

R

´
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6.2

Repre´sentationdeNorton

I=I0−URavecI0=ER
Ledipoˆlepeuteˆtreconsid´ere´commel’associationparall`eled’unesourcedecou-
rantI0ou(cocedtnarucrictrutd’uit)eesisner´eatcnR(pente) :

7

I

I0

R <