Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Système formé de deux points matériels

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmate´riels

Syst`forme´dedeuxpoints
eme
mate´riels

Tabledesmatie`res

´
1El´ementscin´etiques
´
1.1El´ementscine´tiquesdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 R´f´ ntiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ere
´
1.4El´ntscine´tiquesdansR∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eme
1.4.1Quantit´edemouvementtotale................
1.4.2Momentcin´etiquetotalenG. . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4.3Energiecine´tiquetotale....................

2

3

Dynamiquedusyst`eme
2.1Forcesinte´rieuresetforcesext´erieures................
2.2Th´eor`emedelaquantite´demouvement...............
2.3The´ore`medumomentcine´tique....................
´
2.4Etude´energ´etique...........................
2.4.1The´ore`medel’e´nergiecine´tique................
2.4.2Puissancedesforcesint´erieures................
´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique...........

Syst`emeisole´dedeuxpointsmat´eriels
3.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1Conservationdelaquantite´demouvement.........
3.1.2Conservationdumomentcin´etique..............
3.1.3Conservationdel’´energieme´canique.............
3.2R´ductionduproble`mea`deuxcorps`aunprobl`eme`auncorps..
e
3.2.1Mobilefictif-Massere´duite..................
´
3.2.2El´ementscine´tiques......................

1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4

4
4
4
4
4
4
4
5

Soitlesyste`meforme´pardeuxpointsmat´erielsM1de massem1, de vitessev1,
soumisa`desforcesd´esultanteF1etM2de massem2, de vitessev2uos,`sima
e r
desforcesdere´sultanteF2, on noteramla sommem1+m2

DamienDECOUT-Dernie`remodification:fe´vrier2007

Parde´faut,lesvitessesetles
r´ef´erentielRg.e´nelali

1

1.1

c´l´tionssontcalcule´es
ac e era

´
El´ementscine´tiques

´
Ele´mentscie´tiquesdansR
n

par

page 1/5

rapport`aun

p=Xpi=Xmivi=m1v1+m2v2
i i
est laanqut´titnematotmedeevuoelou´rsetnceluattiquin´eeemeyst`dus
dansR
LO=XLO i=XOMi∧mivi=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2
i i

est leoteulatmomentcin´etiqneedsysume`tOdansR
Ec=XEci=X12mivi212=m1v1221+m2v22
i i

est l’ateleuotetiqcin´rgie´enetse`udysdamensR.

1.2

Centre de masse

Lecentredemassedusyst`eme(ouencorecentre
barycentre) est le pointGfinipd´ear:

d’inertie,

(m1+m2)OG=m1OM1+m2OM2

Oleocqneuedet´tuanoinpquntR; siO=G

m1GM1+m2GM2= 0

Choisissons un pointOfixe dansR

dOGm1v1+m2v2
vG=dt=m1+m2

est la vitesse du centre de masseGtra`paopparrR

centre

de

gravit´e,

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1.3Re´f´erentielbarycentrique

Lere´f´erentielbarycentriqueoure´fe´rentielducentredemasse,not´eR∗, est le
re´f´erentielentranslationparrapport`aRdans lequel le centre de masseGest
fixe (souvent pris comme origine deR∗).

Attention : pour queR∗euuˆqrienssautba,liillf´oeietngRlaliiogtsismaen´e
aussi quevG=cte

R∗netnate´ppro`taionparratranslatRnemmtiffndre´eri´eriveo,pnuedt
parrapport`aRouR∗:tirce´’desvtionsessitesl,opiscamo

v=v∗+ve=v∗+vG

lacompositiondesacce´l´erations:

a=a∗+ae=a∗+aG

´
1.4Ele´mentscinetiquesdansR∗
´

1.4.1

Quantit´edemouvementtotale

p∗=Xpi∗=Xmivi∗=m1v1∗+m2v∗2
i i

p∗=m1(v1−vG) +m2(v2−vG) = 0

Laquantite´demouvementtotaledusyst`emedansR∗est nullep∗= 0

1.4.2

Momentcine´tiquetotalenG

L∗G=XLiG∗=XGMi∧mivi∗=GM1∧m1v1∗+GM2∧m2v∗2
i i

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

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L∗G= (GO+OM1)∧m1v1∗+ (GO+OM2)∧m2v∗2
=GO∧(m1v∗1+m2v∗2) +OM1∧m1v1∗+OM2∧m2v∗2
= 0 +OM1∧m1(v1−vG) +OM2∧m2(v2−vG)
=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2−(m1OM1+m2OM2)∧vG
=LO−OG∧mvG

Cetterelation,quisera´etudi´eeen2eelgrifateKednioe´ee,estaann´hoe`rmepplee´te
au moment cinetique :
´
LO=L∗G+OG∧mvG

´
1.4.3Energiecin´etiquetotale

E∗=XEci∗=X21mivi∗21=2m1v1∗2+21m2v2∗2
c
i i

E∗12m1v1∗21∗2
c 2= +m2v2
=21m1(v1−vG)2+12m2(v2−vG)2
=21m1v1221+m2v22−(m1v1+m2v2)vG(21+m1+m2)v2G
=Ec−mv2G+12mv2G
=Ec−1mv2G
2

Cetterelation,quiserae´tudi´eeen2e´leehte´e,tspaepann´eefitalreigenKodeme`eor
a`l’e´nergiecinetique:
´
Ec=Ec∗21+mv2G

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2

Dynamiquedusyste`me

2.1Forcesint´erieuresetforcesext´erieures

De´composonsF1enFext→1+F2→1`uoFext→1ri´ereuaplre’txxere´ceetlaforcees
surM1etF2→1 ´el forc parM2surM1.
a e exerce

DemeˆmeF2=Fext→2+F1→2

Les forcesF2→1etF1→2s’exercant entreM1etM2ospatnl´peseeforces
¸
int´rieuresasusy`teme,lesautresfornate´secseltcrofert´exesesurieau
e
st` .
sy eme

2.2The´or`emedelaquantite´demouvement

outhe´ore`medelare´sultantecin´etique

Rtnagil´le´atdynadelantaldame`eaimuqiqplaputpeonn,eenofepicnirpelreu
M1
ddpt1=F1=Fext→1+F2→1
eta`M2
dp

2
dt=F2=Fext→2+F1→2
enajoutantmembr`amembreonfaitapparaˆıtrelaquantit´edemouvementto-
e
tale :
d(p1d+tp2)=F1+F2=Fext→1+Fext→2+F2→1+F1→2
en utilisant la 3eoi:nlar´eacttionetdeca’ledepicnirpuoonwtNedeoil

ddpt=Fext
`ptettnelatuomeemevtianedt´stequlaFextalatluse´rent
ou o
ext´erieuresquis’exercentsurlesyst`eme:

p=m1v1+m2v2=mvG
dpdvGFxt
dt=mdt=maG=e

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des forces

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Le mouvement deGntoinp’uidluce`aessamedleire´tamestidentiquem=
m1+m2sauoumis`elagelacr´eenofteansfde´earltsuire´erueecrotxess.
`

2.3Th´`dumomentcine´tique
eoreme

SoitOun point fixe deRgalil´
een

Appliquonslethe´ore`medumomentcine´tiqueenOa`M1
dLdtO1=OM1∧F1=OM1∧Fext→1+OM1∧F2→1

eta`M2
dLdtO2=OM2∧F2=OM2∧Fext→2+OM2∧F1→2
enajoutantmembre`amembreonfaitapparaˆıtrelemomentcin´etiquetotal:

d(LO1dt+LO2=)OM1∧Fext→1+OM2∧Fext→2+M1M2∧F1→2

en utilisant la 3ecaitnoteiceped’lction:delar´ealouoninprdeoiwtNe

ddLtO=MO ext
ou`LOnetolauqteseti´eintcenomemtlOetMO extnttaenesulntr´momeleO
desforcesext´erieuresquis’exercentsurlesyste`me.

´
2.4 Etude ´ ´ti
energe que

2.4.1The´ore`medel’´energiecine´tique
Rtena´lie´gtlamedeor`eth´eerleiluqatpppnueneo,`aueiqte´niceigrene´’lM1

et `M2
a

ddEtc1=F1v1=Fext→1v1+F2→1v1

dEc2
dt=F2v2=Fext→2v2+F1→2v2

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enajoutantmembrea`membreonfaitapparaıˆtrel’e´nergiecin´etiquetotale:

)
d(Ec1+Ec2=Fext→1v1+Fext→2v2+F2→1v1+F1→2v2
dt

Contrairementauxdeuxcaspre´ce´dents,iln’ya,apriori,aucuneraisonqueles
termesfaisantapparaıˆtrelesforcesinte´rieuresdisparaissent:

ddEtc=Pext+Pint

ou`Ec,ateleuotetiqcin´rgie´enee’ltsPextlpateserueire´txesceorsfdeceanssuiPint
lapuissancedesforcesint´erieures.

2.4.2Puissancedesforcesint´erieures

Remarquonsquelapuissancedesforcesinte´rieuresestind´ependantedure´feren-
´
tiel :

Pint=F2→1v1+F1→2v2=F1→2(v2−v1) =F1→2(v2∗−v∗1)

Enparticulier,pourunsyste`merigide,Pint= 0

´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique

S