Cours - Thermodynamique - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Du gaz parfait monoatomique aux phases condensés

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– Pourquoi les mol´ecules d’air soumise `a l’attraction terrestre ne tombent pas!
Du gaz parfait monoatomique aux
– Comment interpr´eter la pouss´ee d’Archim`ede subit par un corps immerg´e
dans un liquide?
phases condens´ees
– Pourquoilorsquedeuxsolides`adestemp´eraturesdiff´erentessontencontact,
c’est le plus chaud qui se refroidit et le plus froid qui se r´echauffe?
Table des mati`eres
– etc.
1 De la m´ecanique `a la thermodynamique 1
Les syst`emes ´etudi´es sont donc des gaz, des liquides, des solides, tr`es souvent au
repos.
2 Th´eorie cin´etique du gaz parfait monoatomique GPM 1
2.1 Le mod`ele du GPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Nous sommes bien loin du point mat´eriel ´etudi´e en m´ecanique.
2.2 Force exerc´ee par un GPM sur un ´el´ement de paroi . . . . . . . . . 2
2.3 D´efinition cin´etique de la pression dans un GPM . . . . . . . . . . 2
On pressent que les r´eponses `a ces questions trouvent leur origine dans le
2.4 D´efinition cin´etique de la temp´erature d’un GPM . . . . . . . . . . 2
´
comportement microscopique des constituants ´el´ementaires de ces syst`emes
2.5 Equation d’´etat du GPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
´
(atomes, mol´ecules...). On pourrait alors consid´erer ces syst`emes comme des
2.6 Energie interne du GPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ensembles de N points mat´eriels.
3 Les fluides r´eels 3
3.1 G´en´eralisation des d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nous avons r´esolu analytiquement le probl`eme a` deux corps (N=2); on
3.1.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 d´emontre que pour N > 2, il n’y a plus de solution analytique.
3.1.2 Temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 25
´
3.1.3 Energie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Or 1m d’air contient approximativement 10 mol´ecules! La r´esolution
25
3.2 Les gaz r´eels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 num´erique d’un probl`eme avec N = 10 est hors de port´ee mˆeme des plus gros
3.2.1 Le mod`ele du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ordinateurs.
3.2.2 Le mod`ele de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Dilatation et compressibilit´e d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . 4 D’autre part la r´esolution d’un probl`eme en m´ecanique classique repose
sur la parfaite connaissance des conditions initiales, position et vitesse. Au ni-
4 Les phases condens´ees : liquides et solides 5
veau microscopique, il estfondamentalementimpossibledeconnaˆıtre pr´ecis´ement
`a la fois la position et la vitesse. Ind´ependamment de la faisabilit´e des calculs, la
5 Bilan 6
d´emarche mˆeme qui consiste a` ´etudier un syst`eme thermo comme un ensemble
de N points mat´eriels `a l’aide de la m´ecanique classique est donc vou´ee `a l’´echec.
1 De la m´ecanique `a la thermodynamique
Heureusement, `a l’´echelle macroscopique, ces syst`emes peuvent ˆetre com-
Quelques exemples de questions auxquelles nous allons essayer de r´epondre en
pl`etement d´ecrits `a l’´equilibre par un petit nombre de param`etres, que nous
thermodynamique : appellerons param`etres d’´etat, tels que la pression ou la temp´erature. C’est
– Comment un gaz exerce une pression sur les parois du r´ecipient qui le donc le point de vue adopt´e par la thermodynamique (classique).
contient?
– Pourquoi cette pression augmente avec la temp´erature ? Suivant les cas, nous utiliserons une des grandeurs suivantes pour expri-
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mer le nombre d’entit´es ´el´ementaires (atomes, mol´ecules...) contenues dans un thermo
volume V d’un syst`eme thermodynamique :
– quel que soit l’´el´ement de volume consid´er´e, la r´epartition statistique des
N nombre total d’entit´es ´el´ementaires vitesses est identique; on dit que la distribution des vitesses est homog`ene
N
∗
– toutes les directions de l’espace sont ´equiprobables pour v ; on dit que la
n = densit´e d’entit´es ´el´ementaires appel´ee souvent densit´e particulaire i
V
distribution des vitesses est isotrope; il en r´esulte que la moyenne est nulle
ou mol´eculaire
ce qui traduit le repos du fluide `a l’´echelle macroscopique
∗ 25 −3
n = 10 m dans l’air
∗ 28 −3
n = 10 m dans l’eau
2.2 Force exerc´ee par un GPM sur un ´el´ement de paroi
N
∗
n = nombre de moles d’entit´es ´el´ementaires
(voirTD)Lesatomes demassemenpercutantun´el´ementdesurfacedS exercent
N
A
une force normale `a cet ´el´ement de surface
1
∗ 2
dF = mn <v >dSn
3
2 Th´eorie cin´etique du gaz parfait monoatomique
∗ 2
ou` n est la densit´e particulaire et <v > la moyenne des carr´es des vitesses
GPM
2.1 Le mod`ele du GPM 2.3 D´efinition cin´etique de la pression dans un GPM
On d´efinit la pression p exerc´ee par un GPM sur un ´el´ement de surface dS par
Un gaz est monoatomique s’il est constitu´e d’atomes (ex. : gaz rares)
dF =pdSn
La plupart des gaz sont polyatomiques, c’est-a`-dire qu’ils sont constitu´es
de mol´ecules
L’unit´e l´egale de pression est le pascal (Pa)
−2
1Pa = 1N.m
Le mod`ele du GPM :
on utilise aussi le bar
1) le GPM est constitu´e d’atomes identiques, ponctuels et sans interaction 5
1bar = 10 Pa
entre eux ce qui suppose que ces atomes ne subissent de chocs que sur la paroi
Le calcul pr´ec´edent implique
du r´ecipient qui les contient
1
∗ 2
p = mn <v >
2) soit un ´el´ement de volume dτ petit `a l’´echelle macroscopique mais suf-
3
fisamment grand `a l’´echelle microscopique pour contenir un grand nombre
ou encore
d’atomes; soit{v} l’ensemble des vitesses des atomes de cet´el´ement de volume :
i
1
∗ ∗2
p = mn v
3
– la r´epartition statistique des vitesses est la mˆeme `a tout instant; on dit
√
∗
2
qu’elle est stationnaire; cette hypoth`ese traduit la notion d’´equilibre ou` v = <v >estappel´evitessequadratiquemoyenne qui donneunordre
thermodynamique; dans toute la suite du chapitre, on se place `a l’´equilibre de grandeur r´ealiste de la vitesse de la plupart des atomes du GPM
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´
2.4 D´efinition cin´etique de la temp´erature d’un GPM 2.6 Energie interne du GPM
P
1
On d´efinit la temp´erature cin´etique T d’un GPM en ´equilibre thermodynamique
2
est ´egale a` la somme des ´energies cin´etiques des atomes U = mv =
2
comme une mesure de l’´energie cin´etique moyenne par atome
1 3
2
N mv =N k T
B

2 2
1 1 3
2 ∗2
mv = mv = k T
B 3
2 2 2
U = Nk T
B
2
3
ou` k est la constante de Boltzmann
B
ou encore U = nN k T
A B
2
−23 −1
3
k = 1,38.10 J.K
B
U = nRT
2
L’unit´e de temp´erature est le kelvin (K)
Comme son nom l’indique, l’´energie interne est une ´energie et s’exprime en joule
on utilise aussi la temp´erature Celsius t (˚C)
(J)
t =T−273,15
Il est remarquable que l’´energie interne du GPM qui d´epend a priori des
Lad´efinitiondelatemp´eraturepermetdecalculerlavitessequadratiquemoyenne 3N param`etres microscopiques que sont les trois composantes des vecteurs-
vitessedesesN atomes,ned´ependentend´efinitivea`l’´equilibrethermodynamique
r
3k T
B que d’un seul param`etre d’´etat, la temp´erature.
∗
v =
m
Plus g´en´eralement, une fonction ne d´ependant `a l’´equilibre thermodynamique
que d’un petit nombre de param`etres d’´etat caract´erisant le syst`eme est appel´ee
∗ 3 −1
exemple : `a temp´erature ambiante dans l’h´eli