Devoir Libre N°08
2
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
2
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Nombre de lectures
36
Licence :
Langue
Français
Publié par
Nombre de lectures
36
Licence :
Langue
Français
1.
2.
3.
1.
a.
b.
2.
a.
b.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚08
EXERCICE 1:Constante d’Euler
a`rendrelelundi4f´evrier2013
Demontrez que
´
∀n∈N⋆1+1≤lnn+ 1≤1n
n n
On considere les suites (un)n∈N⋆et (vn)n∈N⋆eipse´nfidrntieouteourtn∈N⋆par
`
•un=Xn1(lnn)
−
k
k=1
n−1
•vn=X1k−ln(n) (v1= 0)
k=1
Montrezquecesdeuxsuitessontadjacentes.End´eduireque(unlee´rnuson)cerevrgve
γ∈[01]. Donnez un encadrement deγa`01−1rp.es`
Onconside`relessuites(wn)n∈N⋆et (zn)n∈N⋆outentieiespourtde´nfirn∈N⋆par
un+vnun+vn+1
wn=2zn2=
De´montrezquecesdeuxsuitessontadjacentes.Quelleestleurlimitecommune?De´duisez-
en un encadrement deγ01a`−3pr`es.
Indication :moestonoesnidepuolr´’tedudewetznoruoptuarsiliedusduse´stereed.ites
Note historique :lee´relγpa’steanstonacelllpeuqlidae´’duEel,rn1735.Oncouvrite
ne sait toujours pas aujourd’hui siγest rationnel ou irationnel...
EXERCICE 2:Suites de Cauchy
De´finition:Uenitsu´eerleel(xn)n∈Nest dite de Cauchy si
∀ε >0 ∃n0∈N ∀(p q)∈N2 p≥q≥n0⇒ |xp−xq| ≤ε
Uneconditionne´cessairedeconvergence
Soit (xn)n∈Nune suite convergente. Montrez que (xn)n∈Nest une suite de Cauchy.
n
Application :SoitSn=X√1kpourn∈N⋆. Montrez que (Sn)n∈N⋆est divergente.
k=1
Une condition suffisante de convergence
Soit (xn)n∈NM.nortzeuqe’lleestborn´ee.yhcuaCedetiusenu
Utilisezlethe´ore`medeBozano-Weiertraßpourend´eduireque(xn)n∈Nconverge.
1
Finalement,nousavons´etabli
The´or`eme—.Conditionne´cessaireetsuffisantedeconvergence
Soit (xn)n∈N∈RNuiesdeteunolsrslA.´ree
(xn)n∈N
converge si et seulement si (xn
2
)n∈Nest de Cauchy.
Fin du sujet
