Devoir Surveillé N°04

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LISEZ-MOI !

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DEVOIR SURVEILLE N˚04

dure´edel’e´preuve4heures(pasmoins;-))

Samedi 19 janvier 2013

Lesujet–plutoˆtassezcourt–secomposede4exercicesinde´pendants.Chacundes
quatreestbienconstruitcarlesquestionssontessentiellementdedifficule´croissante:en
particulier,vousdevrieztoussavoirtraiterlespremie`resquestionslesyeuxferm´es!Bon
courage ! !

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COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

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EXERCICE 1 : Equation diophantienne
Mots-cle´s:arithm´etiqueetde´nombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈3 pt

EXERCICE 2 : Anneau d’extension quadratique
Mots-cl´es:racinescomplexes,sous-anneau,´ele´mentsinversiblesd’unanneau.≈5 pt

EXERCICE3:Petitthe´ore`medeFermatetapplication
Mots-cle´s:arithm´etique,nombrespremiers,nombrespremiersentreeux. . . . .≈6 pt

EXERCICE 4 : Sous-groupes additifs de R
Mots-cl´es:sous-groupes,borneinfe´rieure,partiedense. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ≈8 pt

Nb :L’utilisation dessecirtaluclacesteitrdtein.

1

1.
2.

1.
2.a.
b.
c.
3.a.

´
EXERCICE 1:Equation diophantienne
Soitn∈Nnd.Oelbmesne’ltinfie´En={(x y)∈N2|2x+ 3y=n}.
R´esolvezdansZ22onlqe´’itaux+ 3y=n.
Calculez le cardinal deEn.

EXERCICE 2:Un anneau d’extension quadratique
Soitαsexeopudcsenlpmouxdeciraunl’esedlynˆomeP(z) =z2+z+ 2.
NB :eticilpxe’deriasesecn´ntmelusoab’nseptsalirαpour traiter l’exercice.

Onde´signeparZ[αedblnoesrembomsce’l]mesnlpxese´dfieinapr

Z[α] =p+αq; (p q)∈Z2

Montrez queZ[α] est un sous-anneau deC.
Montrez queα+ ¯α=−1 etα¯α= 2.
Montrez que pour toutz∈Z[α],z¯∈Z[α].
Montrez que pour toutz∈Z[α],z z¯∈N.
Soitz=p+αqetde´´lmenenuZ[α]. Montrez quezest inversible dansZ[α]si et seulement
si(p q:efiiv´er)
p2+ 2q2−pq (1)= 1

b.ntMol’uezqree´uqtaoi(n)1seitmpossiblelorsquepq <0.
c.Mrtnouqze’´eluaeqonti)e(1euqrsloleibsspoimstpq >0.
d.lbisedseistnrevnels´me´embsedele’lnetnsee´ed´rceonspestiesqusezdiude´DZ[α].

2

1.
a.

b.

2.
3.
4.

EXERCICE 3:itacilppatetamreonePr`emedeFtitth´eo

PartieI.Lepetitthe´ore`medeFermat

Soitp∈Punentier premier.
Questions de cours
Montrez que∀k∈[1 p−1]] kpk=pkp−−11.
eXp
Montrez qupk= 2p.
k=0
Montrez que pour toutk∈[1 p−1]],pkest divisible parp.
Montrez quepdivise 2p−2.
De´duisez-enleitetpatemedeFmrhte´roe`:«pour tout entiern∈N
Indication :cerrenoarrrounprennosiauce´rrap
Partie II. Application

np−nest divisible parp».

Onsouhaite´etablirl’existenced’uneinfinit´edenombrespremiersdelaforme4n Pour+ 1.
cela, nous allons raisonner par l’absurde en supposant qu’il n’existe au contraire quek
nombres premiers de la forme 4n+ 1.

On les notep1 p2     pket on posea=p1p2 p   ketN=a2+ 1

1.Soitqun diviseur premier deN. On suppose queq= 4n+3,`oun∈N.
a.qrouPuoiqne divise-t-il pasa?
b.Montrez successivement queqdivisea4n+2−1, puis queqdivise aussia2 et+ 1a2−1.
D´eduisez-enfinalementqueqdivise 2 et concluez.
2.Montrez queNest divisible par 2 mais pas par 4.
3.edzeeuqse´Dsiud´ec´edenstionspretqseuNadmet au moins un diviseur premier de la forme
4me+ivisteldu’un1etqnedt´ffretsidueerp1 p2     pk. Concluez !

3

1.
a.

b.

2.

a.
b.
c.
3.

a.

b.
c.

EXERCICE 4:Sous-groupes additifs de R
Lebutduprobl`estd’e´tudierlessous-groupesde(R+).
eme
D´efinition:On rappelle qu’une partieAdeRest ditedensedansRsi :

∀(x y)∈R2((x < y)⇒(∃a∈A); (x < a < y))

Autrement dit tout intervalle ouvert non vide deRrencontreA.
Questionspre´liminaires
´
Soit (Gossug-orpuseedt´aciserioatesnd.epnonElzecracauorgnu)+G(On ne demande
pasdede´monstration!).
Danslasuitedel’exercice,onconsid`ereunsous-groupeHde (R+),H6={0}.
NotonsH+la partie deRdefinie par
´

H+={h∈H|h >0}

D´emontrezqueH+eure´erifnienrobenuede`sospaqui est positive ou nulle.
Sous-groupes denses de R
On suppose quea’c,0=d-a`-tsenfeiirRH+= 0. On montre queHest une partie dense
deR. Soit donc (x y)∈R2tel quex < y.
Demontrezqu’ilexisteune´le´menth∈H+tel que 0< h < y−x.
´
On noten=hxtrezquenome´D.x <(n+ 1)h < y
Concluez.
Sous-groupes discrets de R
On suppose ici quea >0. On montre queH=aZ.
On montre par l’absurde quea∈H+. On suppose au contraire queast’es´pa´eelntmen
deH+.
i.De´montrezl’existencededeux´ele´mentsh1 h2deH+tels queh<aa<h21<<2h1a,
ii.De´duisez-enl’existenced’un´ele´menthdeH+tel que 0< h < a.
iii. Concluez quea∈H+.
D´emontrezqueaZ⊂H.
i. Soitx∈H. On posem=xnomezert´D.equx=ma.
a
ii.Ende´duirequeH⊂aZ.
iii. Concluez.
Conclusion de l’exercice
SoitHgrs-ounsuoupenonr´eduit`a{0}de (R+). Soita∈R+lorabinneerf´rueiede
H∩R+⋆dansRamon.Onquetr´e
◮Soita= 0 et dans ce cas,Hest une partie dense deR,
◮Soita >0 et dans ce cas,H=aZ.
Fin du sujet

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