Exercice N°1
6
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
6
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Nombre de lectures
28
Licence :
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue
Français
′′′6′⋆⋆′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Nombres complexes `emes Notations alg´ebrique et exponentielle Racines n Exercice 1 : Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies?? Exercice 11 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 5 ! ! 1. z = 1. n n n n Y Y X X √ 7 1. Re a = Re(a ) 1. Im a = Im(a ) 2. z = 1+i 3. i i i i i=1 i=1 6 i=1 i=1 3. z z¯= 1. 1 z¯ 2. si z = 0, alors = 2. Re(i z) =−Im(z) 2 z |z| Exercice 12 : D´eterminez les racines carr´ees de 9+40i et les racines quatri`emes de−7−24i. “ ” z Imz 3. si λ∈ R, Im(λz) = λImz 3. Im = w Imw Exercice 13 : 1. Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes Exercice 2 : Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : √ „ « 2 1+i 3 1−i 3+6i 1+i 1−7i 2+5i 2−5i u = √ , v = √ z = , z = + , z = + . 1 2 3 1−i 3 1+i 3 3−4i 2−i 4+3i 1−i 1+i 6 4 2. R´esoudre dans C les ´equations z = u et z = v. Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : √ √ 3 4 n−1 Y 3 (1+i) (1−i) ( 6−i 2)(1+i) 2iπ/n k n−1 z = , z = + , z = . 1 2 3 Exercice 14 : Soit n≥ 2. On note ω = e . Montrez que ω = (−1) . 2 1−i 1−i (1−i) 1−i k=0 Exercice 4 : Soient θ,θ deux nombres r´eels. ´ Equations polynomiales θ+θ iθ iθ i iθ 2 1. Transformez e +e en factorisant par e sous la forme ρe ou` ρ et θ sont des r´eels. Exercice 15 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes 2 1. z −(2+3i)z+3i−1 = 0. iπ/3 4iπ/3 z = 1+e , z = e −1 1 2 6 3 2.
Voir
Publié par
Nombre de lectures
28
Licence :
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue
Français
MPSILyc´eeRabelias
Nombres complexes
´ebrsalgetexiquetneiopenlleatoNnoit Exercice 1 : ? ?Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies n 1.ReX=Re(ai) ai!i=Xn1.Im i=nY1ai!=ni=Y1Im(ai) i=1 1 1z ¯
` aRicensnemes Exercice 11 :se´RrduonadesCtnseeleqs´tiuassonvaui 1.z5= 1. 2.z7= 1 +i√3. 3.z6z¯ = 1.
Semainedu12aoˆut2011
2.Re(i z) =−Im(z si) 2.z6= 0, alorsz=|z|2Exercice 12 :+4e90r´arsdeerete´Deszlnemiscneciraiuqseirtarselnicaet`emesde−7−24i. 3. siλ∈R,Im(λz) =λImz3.Im“z”=ImmIwzExercice 13 : w Exercice 2 :erbmonseelMellzeeitttnnepoexmeorsfouzsqieuelnsmorbseocsousefsormpelaelxg´secbormssxelemps:ntvaui1M.teet 3 + 6i z13−4 zi 2=„12−+ii«24++1−37izi32=+1−5ii2+1−+5uii1=1−+ii√√33 v+11=−i√i3 = 2.Re´soudredansCeslqu´eioatnsz6=uetz4=v. Exercice 3 :Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : z1 3= 1−i z2+1(=1−ii)3(1(1+−−ii))24 z3= (√6−1i√−2i)(1 +i)Exercice 14 :Soitn≥2. On noteω=e2iπn. Montrez quen−Y1ωk= (−1)n−1. k=0 Exercice 4 :Soientθ θ′xnomdeu´reerbsesl.´ 1. Transformezeiθ+eiθ′en factorisant pareiθ+2θ′sous la formeρeiθ`ouρetθestdeer´.lssnoExerEcicqeu1a5t:ioRn´essoupdroeldyannsoCmlieasle´eqsuations suivantes 2.Ende´duirelaformeexponentielledesnombrescomplexes z1= 1 +eiπ3 z2=e4iπ3−1 1.z2−(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0. 2.z6−(1 + 2i)z3+ 3(1 +i) = 0. Exercice 5 :Soitn∈N⋆. Simplifiez 1.z1= 1 +i√3!n16xIEnrdeicecionicat::rreeu´vdnssuodvauqRzesroe´fieieCn´oeitteetc´’laatuqquezio3n−so`sd+(e3e4pi)uzn2e−osu(l3it1−on4ir´e)z.+9e=l0le. 1−i 2.z2=`“√3−1´+i`1 +√3´”n+`“√3−1´−i`1 +√3´”nExercice 17 :e´Rnsolvez dansCl´esestaetaqnuinvssiuo = 1. Exercice 6 :utersranslmbleensentiedeseete´D’lzenimrn∈Npour lesquels (1 +i)n∈R..1(.2„zz+−zi1)n«= (z−i)n. Observez qu’elle admetn−osul1ll.esuteer´ontitos, es
Exercice 7 :deseopnisterminezl’ensemblte´DM(z) tels quez+z¯ =|z|rteiigonom´ens`alatrcilpoitapA Exercice 8 : Exercice 18 :Soitω=e2iπ5. On poseS=ω+ω4etT=ω2+ω3. CalculezSetTisez´edu-enD. 1.D´eterminezlelieudespointsMd’affixeszquisase´cevatnongilId’affixeietM′d’affixe cos(5π). iz. 2.Quellieude´criventlespointsM′correspondants ?Exercice 19 : 1.Pr´esentezsousformetrigonom´etriquelesnombrescomplexes Exercice 9 :ouepourttronquez´DmesuetvdansC, |u+v|2+|u−v|2= 2 (|u|2+|v|2) u=12(√6−i√2) etv= 1−i 2.End´eduireunepr´esentationtrigonome´triquedeuv, puis les valeurs exactes de cosπ12 Exercice 10 :Soita∈C⋆olesR´.snadzevCotiaunqe´’lez=aet sinπ12.
1
Exercice 20 : 1.Lin´earisezcos2xsin2x, et cos5xsinx. 2. Exprimez cos 5xen fonction de cosx.
Exercice 21 :
Montrez que Xncos(kθ) = cos`n2θ´sin„(n+2θ1)θ« k=0sin 2
Exercice 22 :Soient (a x)∈R2etn∈N⋆. n−1 1. CalculezS1=Xcos(a+kx) k=0 n−1 2.Ende´duireS2=Xcos3kx k=0
2
Exercice 1 .—
Exercice 2 .—
1. VRAI 2. VRAI 3. VRAI
1. TROPA 2. VRAI 3. TROPA 3 z1=−5 +i56 z2=−1−i z3=−3
N
•Montrer quez”autoconest”e´ugujz=z; ¯ •Montrer qu’un argument dezlomodu`u0anorgsectπ(pourz6= 0). n Ici, (1 +i)n=„√2eiπ4«= (√n)neinπ4. En particulier, comme son module est strictement positif,nouspouvonsutiliserlatroisiemecaracte´risation,ilvient: ` (1 +i)n∈R⇐⇒arg(1 +i)n≡0 [π]⇐⇒n4π≡0 [π] ⇐⇒n≡0 [4] Ainsi, (1 +i)nest reelsi et seulement siil existe un entierk∈Ztel quen= 4k. En conclusion, ´ N(1 +i)ne´leestrsi et seulement sinest multiple de 4.N
Exercice 3 .— Exercice 7 .—Soitz∈C. √2 z1 2= 3eiπ4z+z¯ =|z⇒|⇐z2x==xp+yix2+(yx2y)∈R2 z2= 2√2e5iπ48<xz=≥x+iy(x y)∈R2 z3= 2√2e−iπ6⇐⇒:4x2=0x2+y2 Exercice 4 .—⇐⇒<8zy2==x3+02iy(x y)∈R2 eiθ+eiθ′ cos= 2θ−2θ′ei12(θ+θ′):x≥x 1 +eiπ3√3eiπ68z=x+iy(x y)∈R2 = ⇐:<y=√3xouy=−√3x e4iπ3−1 =√3ei7π6⇒x≥0 N Ainsi, le lieu d´ it r les pointsM(z-dmideuxesitroiondesdetlar´eun)sexy≥0=√3xet ecr pa Exercice 5 .— 1. 1 +i√3 = 2epi3, 1−i=√2e−iπ41.’Du1o`+−i√i=3√2e7iπ12. Par laformule de Moivre,xy=≥0−√3x.N z1= (√2)n il s’ensuit quee7inπ12Exer1c.icIel8es.t—clair que sizest 1 oui, les pointsI MetM′oslatne’tneruexign´esvuquedeuxd 2. On remarque que`√3−1´+i`1 +√3´et`√3−1´−i`1 +√3´d´esormaissqnuoectnoofdnsuS.puopossnonsontcgujue´.saPlrseziffedre´edenttd1ennutrbmomocexelpese propri´t´esdelaconjugaison,ilenre´sultequeleurspuissancesnmei`ese.uge´noujsscintausoi. En ce cas, les pointsI MetM′se´ngilontassi et seulement siles vecteursI−M→etI−−M→′ e Ainsi,sontcoline´aires,cequisetraduitenaffixespar z2=“`√3−1´+i`1 +√3´”n+`“√3−1´−i`1 +√3´”nI MetM′eossign´ntal⇐⇒les vecteursI−M→etI−−M→′seriean´licontso = 2Re»`“√3−1´+i`1 +√3´”n–⇐⇒⇒⇐ii(zz−−−ii1)∈(z¯R+i)∈R z Or ⇐⇒Re(z−1)(z¯ +i) = 0 `√3−1´+i`1 +√3´=√3 +i−1 +i√3 = 2(eiπ6+eiπ3Ecrivonsz=x+iynenotationalg´ebriivlI.euqtne = 4 cos(−π4)ei5π12= 2√2ei5π12(z−1)(z¯ +i) =`(x−1) +iy´`x−i(y−1)´=ˆx(x−1) +y(y−1)˜+iˆy(x−1) +x(y−1)˜ D’apr`eslesformulesdeMoivre,ils’ensuitqueParcons´equent,lespointsIl,MetM′sontlagi´nsesi et seulement siiertpaesltesellee´rs z2= 2Re`»2√2´nei5nπ12–= 2`2√2´nso51cn2πigamiesnairxetydezv´etnirefix2+y2−x−y= 0 N Onreconnaiticil’´equationducercledecentreΩ(21radeet2)1nyo√.22 Exercice 6 .—onosipsdesdparmeelsnombilesmolpercsn,uoxesePrcouacarert´resinselrbmo´rseConclusion :le lieu des pointsMd’affixeszvesacuqnosiilate´ngId’affixeietM′d’affixe plusieursstrate´gies.iz(Ω21tneredeccrelleceestnyoradeet2)1√22. •Montrer que la partie imaginaire dez ;est nulle
3
