Exercice N°108: Géométrie élémentaire du plan
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
Produitscalaireetde´terminant
´ ´ ´ ´
GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN
Exercice 1 :SoientA,BetClano´ngiiopsnstntroietesMle milieu de [AB].
D´emontrezl’enaidam´eedeltit´iden:
2CM2=AC2+BC2−21AB2
Exercice 2 :SoientA,BetCpsiotniononsgilatrn´es.Onnotea=BC,b=AC
ˆ\
,c=ABetA=CAB∈]0 π[. Etablissez laformule d’Al Kachi:
2=b2+c2−2 ˆ
a bccosA
Exercice 3 :SoientA,BetCnanognlipoistsinorterqzeue´.soMtn
Det(A−→B−A→C) = Det(B−→C B−→A) = Det(C−→A C−→B)
Exercice 4 :SoientAetBdeux points du plan etuzuneurnvect.l´Dnounimentere
~
les pointsMtels que :
1 uA−−M→+u~ −B−M→ 2= 0Det(~u−A−M→) + Det(Bu~−−M→) = 0
~
Exercice 5 :Le planPruetcevselertneesmrnie´ete´d,eitnent´eorianglezl’ate´rotn
u~−12et~v43.
Coordon´t´esiennes
nees car
Exercice 6 :SoitDdaltiorenestitaeredr´epmrapaonequriet
´
y= 3−5t
x= 2 + 3tt∈R
D´eterminezunrepe`reetune´equationcart´esiennedeD.
Exercice 7 :SoientA21,B−12etC43.
1.Calculez la distance du pointC(teoidrla`aAB).
2.lapeondeuatie´eqzenumrnie´etDrial(a`eneprucidAB) passant parC.
1
semaine du 17 novembre 2012
Exercice 8 :Soit (ABCncgonlseindo`neap)luanttir.iOaniotnerrtiopsA′ B′ C′,
distincts deA,BetC, appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et
(AB).
On note =B′C
α=AA′′BβCB′Aγ=CC′′AB
~ ~
1.xErpimezlescoordonn´dseeeA′,B′etC′(nseeiadlensp`reecert´arA AB BC)
en fonction deα,β,γ.
2.´dnEuqeriudeinpoeseltsA′ B′ C′n´igessoalntsi et seulement siαβγ= 1.
Probl`emesdedistance
Exercice 9 :orpudsee´nnodrooscleezinrmte´eDenaldhogoeortjet´Mbasur la
droiteD’duqe´oitanx−2y= 1.
Exercice 10 :Soit (ABCtle´equilat´erale)nurtaignMrdeuri´eeniopnutni’la`t
celui-ci. Montrez que la somme des distances deMstroundechac`aeststoe´siˆc
inde´pendantedeM.
Indication :rase(itiudortni`ereorthsezunrepnoutanexnoro´mdeBC) et l’autre
la hauteur issue deA.
Exercice 11 :ciseeddsortisesnoitauqise´tracessdneentrecssbiermiD´etes´enezlD1
etD2lorsque
1.D1etD2ooptne´rutauqnsiortcasi´eneenesivctpeessr
(D1) 3x+ 4y= 7 (D2) 5x−12y+ 7 = 0
2.D1etD2apre´se´prerte´sonD1=D(~uI1) etD2=D(~Iu2u`o,)I23,~u112et
~u2−13
Exercice 12 :
1.Darleantpntsspoialrdenedapssioetcaontiuaensi´ertnimrete´qe´enuzeA−12
etB−34.
2.SoitM15reteenim´D.donn´eeszlescoorej´tseruedospnorDsuivant le vecteur
v~32.
3.rinfie´DuemeytiqanalsseznousceitrpjotnalDsuivantv~,siupsylaetm´edrixe’a
Dde directionv~.
4.nnodrooorpudseerteot´jeldnagohoeD´eterminezlescMsurD.
´
Cercles et lignes de niveau
Exercice 13 :On noteCle cercle de centreOednoitauqe´’lzermFo1.onayertde
latangente`aCau pointMcosθθ.
sin
Exercice 14 :SoitCun cercle etMun point en dehors deC. Une droiteDpassant
parMcoupeCen deux pointsAetB. Montrez que le produit B MM Aned´epend
pas du choix deD.
Exercice 15 :SoitA(13) B(20) C(4−r-lecicerconduetD´).1itauqe´’lzenimre
conscrit au triangle (ABC)
Exercice 16 :Soitn∈N⋆,A1 A2 Andes points du plan etα1 α2 αndes
n
re´elstelsqueXαk6e,fnidzeoidnnotcam`eupartretu.E=0λ∈R, l’ensemble des
k=1
pointsM∈ Ptels que
n
XαkM A2k=λ
k=1
Exercice 17 :Soitm∈Rsndie`eralrdioet.OncoDmd’´equation
(1−m2)x+ 2my−4(m+ 2) = 0
1.Montrez qu’il existe un pointAtuotedecordsecse.esitstiamˆeu´e`stanmedi
2.eeuncerclEirdu´endCstetangenlsserdio`ttauoetDm.
2
