Exercice N°111: Géométrie élementaire de l'espace
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MPSILyc´eeRabelias
G´eom´etriee´le´mentaire
Produits scalaire, vectoriel et mixte
Exercice 1 :Soitu~un vecteur non nul,Aun point deEetλzenie´D.mretunr´eel
−−→
le lieu des pointsMtels queAM~u=λ.
~
Exercice 2 :Soient~uv~etw~trois vecteurs deE. Exprimez Det(u~+~~vv+w~~w+u~)
en fonction de Det(~u~v~w).
~
Exercice 3 :Soient~ba~ctrois vecteurs de l’espace, montrez que
~a∧(b~∧c~) +c~∧(~a∧~b) +b~∧(c~∧~a) =~0
~ ~
Exercice 4 :Soientd~abc~quatre vecteurs de l’espace. Montrez que
~ ~
Det(~a∧~ab∧~ac~∧d) = 0
Exercice 5 :
1.D´emontrezlaformuledudoubleproduitvectoriel:
u~∧(~v∧w~) = (~uw~)~v−(u~v~)w~
~ ~
2. Soient~aetbreaiR´s.oueseddrsnadeuxvetcuesroncnlonie´E´’lauqenoit
~
x~+~a∧x~=b
~ ~
encherchantlescoordonne´esduvecteurxdans la base (~aba~∧b).
~
~ ~ ~
Exercice 6 :Soient~aetbdeux vecteurs deE,~a6uhsoteai=On0.drouesr´sanedE
´ uati
l’eq on~
~a∧x~=b
1.Condition de compat~iibeil´t
Montrez que si~aetbno’npasaedaux,cette´equatinosesapthtronogon
solution.
~
Onsupposede´sormaisque~aetbsont orthogonaux.
2.uneshed’hercRecre`eitrailuctulo
ion p~
De´terminezunesolutionparticuli`eredelaforme~x0=λ~a∧b.
3.So’le´uqtaulitnoedte`encioplom
De´termineztouteslessolutionsdel’´equationpropose´e.
Exercice 7 :Soientu~etv~deux vecteurs orthogonaux et non nuls
Simplifiez (~u∧v~)∧~u).
de
l’espace.
1
de l’espace
Droites et plans de l’espace
x
Exercice 8 :trezMonsne’leuqrapelbme´etr´eamrpay
z
planetdonnezune´equationcarte´siennedeceplan.
Semainedu12aoˆut2011
= 2 +s+ 2t
= 2 + 2s+test un
= 1−s−t
Exercice 9 :SoitD1=D(A ~) etD2(A2~u2). Montrez queD1etD2sont copla-
1 u1
−−−→
nairessi et seulement siles vecteursA1A2,~u1et~u2le sont.
Exercice 10 :Montrez que les droitesD1xy2==zz−1+e1t
D2yx==z3z+−23sonnnieest´arncioateetd´ireslanatcope´uquzenimentere
de leur plan.
~
Exercice 11 :D(ON’espaceeL´t`euaRntsarpproO~ı ~ ke)t.ruuzencevnte´Dimre
directeur de la droite intersection des plans (ABC) et (ADE),uo`
A−121! B302! C−121! D104! E−111!
~
Exercice 12 :usnOosppueeqesl’cepa(DNORun`a´ertpoaptresk~ı~O).
1.D´eterminezlaperpendiculairecommuneaudroitesD1etD2 `de r
eperes
A1100!,u~1−111!etA2000!,u~2111!.
2.De´terminezlaperpendiculairecommuneauxdroites
D1xx+−yy++zz6==4D2xx++yy+−zz==4−2
~
Exercice 13 :paceestrapport´e`naOuunsRpOpNsDo(qeeu’lseO~ı ~ k). Calculez
1
1. la distance du pointA21!uanalpe´’dionquatx−y+z= 2
2. la distance du pointB−101!etoidrla`aDmarappee´rte´ra
x
y
z
=
=
=
1 +t
1t
−
2t
t∈R
3. la distance du point
x+y−z=
x−y+z=
1
3
C021!snoitauqe´’dem`estsylearepniefiΔe´dortilada`
e’eelacsphpe`erdscrelesstCe
Exercice 14 :SoientSetS′nsaltio`hresepse´uqse’d
Sx2+y2+z2−4
S′x2+y2+z2−4x−4y−2z+ 8
= 0
= 0
Montrez queSetS′´ioatupndnlanemeftetemroenuzgentesext´erieursnottna
equ
tangent au point de contact.
Exercice 15 :SoitSereasphloinuqta’de´
`
x2+y2+z2−2x+ 4y−6z−11 = 0
1.De´terminezlecentreetlerayondeS.
2.De´terminezlespointsM1etM2deS, qui sont respectivement le plus proche
etleplus´eloign´eduplanPe´’datqun:io3x−4z+ 19 = 0.
Donnez les distances deM1etM2`aP.
Exercice 16 :1. SoitCun cercle de l’espace de centreO, de rayonrt,vo´eanlu
dans un planP. SoitSedecapseΩeretnecyoradeetnesphundel’`ereR.
Donnezuneconditionn´ecessaireetsuffisantepourqueCsoit contenu dans
S.
~
2.Onmunitl’espaced’unrepe`re(~Oı~kilu’zqrentMo).ere`hpsenuetsixe
contenant les cercles suivants :
C1x2x2++y52y++z42z−4=2y6−8z= 16C22xx2++y32y++zz2=−145x−6y−4z= 8
3. SoientC1etC2deux cercles non coplanaires de l’espace, admettant deux points
communs,AetBlixesiettnerqz’u.Mo,re`ephesunS, unique contenantC1et
C2.
2
