Exercice N°116: Ensembles ordonnés, propriétés de R

MPSILyc´eeRabelias

sembEndrnoelos´nse

Ensemblesordonne´s,

Exercice 1 :Soient (E≤), (F ´ S) deux ensembles ordo it≪la relation
nnes. o
binairede´finiedansE×Fpar :

x <
∀(x y)(x′ y′)∈(E×F)2(x y)≪(x′ y′)six=x′oetyux′y′

1. Montrez que≪est une ordre surE×F´lepdroeerap,lexicographique.

2. Montrez que si les ordres≤surEetFrespectivement sont totaux, alors
≪est un ordre total.
3. On suppose que (E≤) = (F) = (R≤).
(a) Soit (x y)∈R2Quel est l’ensemble des majorants de (x y) ?

(b)R⋆−×Rld-ietdmament?el´eand´usgrnulptn?sojarseam

Exercice 2 :Soit (E≤.P´enndot´ourtoutneme´lenune)elroesbmxdeE´efinitdno,
la partie :
ϕ(x) ={t∈E|t≤x}

1.De´montrezque:

∀(x y)∈E2|(x≤y)⇒ϕ(x)⊂ϕ(y)

2.De´montrezqueϕest une injection deEdansP(E). Est-ce une surjection ?

3.Re´ciproquement,soitφune injection deEdansP(Eieofiadt´etllnariOnn).
Rpar :
∀(x y)∈E2 xRy⇐⇒φ(x)⊂φ(y)

D´emontrezqueRanifieinis´ddro’userrsteeerunatelndioE.

4. Concluez.

eirueeresitfne´Bornessupserueir
´

Exercice 3 :resdrieunf´esetiueere´irsspuroensbleezinrmte´eDsnaRdes ensembles
suivants, si elles existent :

1

propri´ete´sdeR

1.A1=1n;
;n∈N⋆
2.A2=(−1)n(1−1n);n∈N⋆;
3.A3=n (1 1 m)∈N⋆×N⋆
−;n
m

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 4 :SoientAetBdeseonviiesnpartdse´neebtroxuedR. Montrer que :
A⊂B⇒supA≤supBet infA≥infB

Exercice 5 :SoitAunepartienonviobede´nredeR.
1.Montrezquel’ensembledesdistancesentredeux´ele´mentsquelconquesdeA
poss`edeunebornesup´erieure.Onappellecenombrelediam`etredeA, on le
noted(A).
2. Montrez qued(A)≤supA−infA.
3. Montrez que :∀ε >0∃(x y)∈A2|x−y|>supA−infA−2ε
4.De´duisez-enqued(A) = supA−infA.

Exercice6:nonexistencedebornesupe´rieuredansQ

Dans cet exercice, on admet que :∀x∈Q x26= 2.
1. SoientA={x∈Z+∗|x2<2}etB={x∈Z+∗|x2>2}D.e´ezinrmte
supZ(A) et infZ(B).
2. SoientA={x∈Q+∗|x2<2}etB={x∈Q+∗|x2>2}. On
veutde´montrerqueAptemedsada’nsepuobnrueere´irdansQeri,c’`a-dest-
que l’ensemble des majorants deAdansQ’npasaedlpsupetit´el´ement.
Pour cela, on suppose au contraire queα= supQ(A) existe (α∈Q), et on
2
poseβ.
=
α
(a) Montrez queβ= inf(B).
(b) Montrez que :∀a∈A∀b∈Bon aa≤beduirevousend´uope-zevuQ.
pourαetβ?
(c)Enconside´rantγ=α2+βon.ictia`nututirtdacenoqueztronbona’oelm,

gelaI´nsRansd´eit
Exercice 7 :Soit (a b c)∈R+×R+×R+un triplet de nombres positifs. Montrez
quel’unaumoinsdesre´els

a(1−b) b(1−c) c(1−a)

tinfe´rie`1
es ur a 4 .
Indication :etudiez la fonctionx7→x(1−x).

Exercice 8 :lseuqzruopsuotee´rD´emontrexety, on a :
1.|x|+|y| ≤ |x+y|+|x−y|
2. 1 +|xy−1| ≤1 +|x−1| 1 +|y−1|

Exercice 9 :Soientn∈N⋆,x1     xnnntrezqueitifs.Moeer´nemesopttssltcir
x1+x2+  +xn x1−1+x2+  +xn−1≥n2
−1

Indication :

on pourra remarquer que pour toutX >0,X+X1

porPe´irest´Rde

≥2.

Exercice10:unThe´ore`medepointfixe
Soitf: [01]→[01] une application. On suppose quefest croissante. Le but
del’exerciceestdede´montrerquefxfitniopn-tse’c,eeqir-d`aisexilu’tepedeuoss`
x∈[01] tel quef(x) =x:ielarertpaocsndie`.nO
E={x∈[01]|f(x)≥x}
1. Montrez queEreeurioss`ppue´nrseenobdeues.
2. Montrez quef(s) =s.
Indication :pourra raisonner par l’absurde et chercher une contradictionon
dans chacun des cas :f(s)< s, etf(s)> s

Exercice 11 :Soitf:R→Rune fonction non identiquement nulle telle que, pour
tout (x y)∈R2:
f(x+y) =f(x) +f(y)
f(xy) =f(x)f(y)
1. Calculezf(x) lorsquex= 0,x= 1,x∈N,x∈Zpuisx∈Q.

2

2.De´montrezl’implication(x≥0⇒f(x)≥ezesiudeeuqnetd´0)fest crois-
sante.
Indication :six≥0c,ehrchez`a´ecriref(xos)alsumrofu’dearnce.r´
3.Finalementd´emontrezquef=IdR.
Indication :l’arzpneonisraesilituteedrusbat´edesrazladensi.itnoensl

Exercice 12 : Sous-groupes additifs de R
SoitHun sous-groupe additif deR,H6={0}. On poseH+⋆=H∩R+⋆, et
α= inf(H+⋆).
1. Siα∈H+⋆, montrez queH=αZ.
2. Siα ∈H+⋆, montrez queαnd´eduisez-enque=e0etHest dense dansR.

Correction des exercices

Exercice 1 .—1. Montrons que≪eid-a`-tslle’uqernd’oatio,c’erdreereletsnu
estreflexive,antisym´etriqueettransitive:
(a) Soit (x y)∈R2, alorsx=xetyy. Par suite, (x y)≪(x y).
(b) Soit ((x y)(x′ y′))∈R2×R2nelaviuqe´rapsnonnsoai.R:sec
((xx′yy)′)≪≪(x(′xyy′))⇐⇒xx′<<xx′uouoxx′==xx′teteyy′yy′
⇐⇒xx′=xx<′eotuxy′=y′xety′y
⇐⇒xx′==xx′teetyy′yy′
x=x′
⇐⇒yyety′y
⇐⇒xy==xy′′

(c) Soit (x y)(x′ y′)(x′′y′′)tmenestedorsie´´lE×F. On suppose que

(x y)≪(x′ y′) et que (x′ y′)≪(x′′y′′). En ce cas, on remarque que

ne´cessairementx≤x′et quex′≤x′′´eitivitde.snartraP≤, il s’ensuit
quex≤x′′equiconduit`aladC.e:ucsioissiusntnav
◮six < x′′, alors (x y)≪(x′′ y′′).
◮six=x′′. En ce cas, nous avonsx=x′etx′=x′′htopyhseL.`esesse
traduisent alors paryy′ety′y′′noeralitaltiviede´rartitnsPa.
neno,atiude´deqursloyy′′et donc que (x y)≪(x′′ y′′).
2. Soit ((x y)(x′ y′))∈E×F. Comme l’ordre≤est total deux cas se
presentent :
´
◮six6=x′eusdces,caceen,edstneme´le´xEostranemenrictntstP.ra´gse
d´efinitiondelarelation≪,esetluleuqnelise´r«mots»(x y) et (x′ y′)
sontrange´sdanslemeˆmeordrequeleursinitiales.
◮six=x′, en ce cas, commeFstetatore´apodnntnroelem, l’un des
deux´ele´mentsyety′aul’`aurieerp´suttrsee:«mots»(x y) et (x′ y′)
sontrang´esdanslemˆemeordrequeleurslettresfinales.
3. Faites un dessin.N
Exercice 2 .—1. Soit (x y)∈R2tel quex≤y. Montrons queϕ(x)⊂ϕ(y) :
Soit donct∈ϕ(xnfitioi,n.)aPdre´onadonct≤x,ese`htopyh.Orparx≤y.
Partransitivite´,ils’ensuitquet≤yerequa-dist-`,c’et∈ϕ(y).
2. Soit (x y)∈R2tel queϕ(x) =ϕ(y).Parhypoth`se,eecalisngfiiqeue

{t∈E|t≤x}={t∈E|t≤y}

En particulier,x∈ {t∈E|t≤y}ety∈ {t∈E|t≤x}`taci,vqneeiuer
dire quex≤yety≤xaran.Perneoccnulrslotaeunp,orerdo’ledeirte´mysit
quex=y. Ainsi,ϕest une application injective deEdansP(E). Comme il

3

3.R´eciproquement,soitφune injection deEdansP(E´dnO.)raltinfieelation
Rpar :∀(x y)∈E2 xRy⇐⇒φ(x)⊂φ(y)envOri´equfieRes