Exercice N°124: Polynômes à une indéterminée

MPSILyc´eeRabelias

Op´ionseratKadsn[X]

Polynˆomesa`uneinde´termi´
nee

Exercice 1 :nastedpstndsmonissui-olynˆomeeretD´eszlnemiese´rgedeicffieoct
vants :

1.P1=X3−X×(X−2 +i)2
n
2.P3=Y(2X−k)
k=0

3.P2= (X−2)n−(X+ 5)n
n
4.P4=Y(X−6)k
k=0

Exercice 2 :etiuasdonnc’inuoneqs´leezlvso´eRP∈K[X] suivantes :
1.P′2= 4P,
2. (X2+ 1)P′′−6P= 0.
3.P(X2) = (X2+ 1)×P(X)
Indication :´egrreniedelraprmaxennosiarestehte`neecocmmranaerpa-synlyse
d’unesolutionauproble`mepose´.

Exercice 3 :SimpemoˆnylopelzefiilP=k=nX0nk3k(1−X)3n−2kXk

t´ebiliivisiD

Exercice 4 :Effectuez les divisions euclidiennes deAparBlorsque
1.A= 1 + 6X2+ 4X3−5X4etB=X2−5X+ 3,
2.A=X3+iX2+XetB=X−i+ 1.

Exercice 5 :etD´imrelzenersesetsnoueivisalidadsnedeiennclidA=Xn+ 2X−2
parBlorsque :
B= (X−2),B= (X−2)(X−3),B= (X−2)2.

Exercice 6 :Soitn∈Netserte´e.Da2leezinrmrutausletnennrei´eoul`gaerp´urieu
et le quotient deAparB, lorsque
1.A=Xn+Xn−1+X et+ 1B= (X−1)2;
2.A= (X−1)n+ (X+ 2)n et+ 2B= (X−1)n.

Exercice 7 :SoitP∈K[X].
1. Soit (a b)∈K2tel quea6=b`aezimprEx.eded’liaP(a) etP(b) le reste de
la division euclidienne dePpar (X−a)(X−b).

1

Semainedu12aoˆut2011

2. Soita∈Kidedemez`al’aE.pxirP(a) etP′(a) le reste de la division eucli-
dienne dePpar (X−a)2.

Exercice 8 :quates´evezlesoleuocnn’dnioisn´RP∈K[X] suivantes :
1.P′2= 4P,
2. (X2+ 1)P′′−6P= 0.

+∞1(n)(X).
Exercice 9 :SoitP∈K[X]. Montrez queP(X+ 1) =X!P
n=0n

mhe´rAtideseituqnˆompolyes
Exercice 10 :e´DzenimretdeCDPGleA=X4−3X2−4 et deB=X3+2X2−X−2.
Exercice 11 :SoitA=X7−X−1 etB=X5+ 1.
1.De´terminezuncouple(U0 V0)∈K[X]2tel queAU0+BV0= 1.
2.R´esolvezdansK[X]2nqoeiatul´’AU+BV= 1.

Exercice 12 :Soit (n m)∈N⋆×N⋆.
1.De´duisezdeladivisioneuclidiennedenparm, celle deXn−1 parXm−1.
2.D´emontrezqueP GCD(Xn−1 Xm−1) =Xn∧m−1.

acinRse

Exercice 13 :eddrorl’ezinrmteede´ticilpitlumelaracineDe´αdupolynoˆemP
lorsque :
1.α= 2 etP=X6−7X5+ 17X4−16X3+ 8X2−16X+ 16
2.α= 1 etP=Xn+1−(n+ 1)X+n

Exercice 14 : dans1. FactorisezC[Xlee]omnˆlypoQ=X2+X+ 1.
2. Soientm n pnsreruta.sleme´DtronquezetroisentiQdiviseX3m+2+X3n+1+
X3p
.
3. Pour quelles valeurs de l’entier naturelnˆnmoopyleelX3n+X2 est-il+ 1
divisible parQ?

elgsaonsueiqbresnoitasitauqe´ttoriFac
´

Exercice 15 :ctduleibansdslopeoˆnyiseme´rrposezenproduitsd´DcemoR[X] les
poly ˆ ivants :
nomes su
1.P=X5−1,
2.P1=X6+ 1,
3.P2=X9+X6+X3+ 1,
4.P3= (1−X2)3+ 8X3
5.P4=X8−2X4cos 2α+ 1

Exercice 16 :Determinez les racines complexes de (X−1)n−.1uiedd´Enlare
´
n−1
valeur deYcos(kπn)
k=1

Exercice 17 :SoitP=X7−5X6+ 8X5−4X4−4X3+ 8X2−5X+ 1∈C[X]
1.Ve´rifiezque1et−1 sont racines dePpseritcesev.rPe´iceslzesmultiplicit´es
αetβde 1 et−1.
2.End´eduireunepremie`refactorisation:

P= (X−1)α×(X+ 1)β×P1

o`uP1antmev´erifituesˆoynolnpP1(1)6 et= 0P1(−1)6 que vous= 0
d´eterminerez.
3.Ve´rifiezque∀z∈C⋆P˜1(z) = 0si et seulement siZ=z racine d’une est+ 1
z
e´quationdedegr´e2apre´ciser.
`
4.End´eduirelafactorisationdePoduitsd’irr´educnerp.selbit

Exercice 18 :SoitP∈R[Xpoun]modeylˆn´redegeneriesup´´egauroua2l`.
1. On suppose quePadmetnracines distinctes. Montrez queP′sesticdnet´e
admet exactementn−1 racines distinctes.
2. On suppose quePtnnie´rdt.secosMeqzeuP′nd´etscise.

Racines et coefficients

Exercice 19 :mieretD´enuzenocdntioinn´ecessaireetsuffisetnalrusrapee`maetr
λ∈CˆomeolynpoquurepelP=X3−7X+λadmette une racine qui soit le double
de l’autre.

Exercice 20 :solvezl’R´ene´uqtaoix3−8x2+ 23x−28 = 0 sachant que la somme
dedeuxdesesracineseste´gale`alatroisi`eme.

2

Exercice 21 :vezlesol´Res
(x y z)∈C3
xxy++yxz+z= 2
+yz=−5
x×y×z=−6

Familles de polynomes
ˆ

syst`emesd’e´quationslionean´esirnd’inconnues

x+y+z 1 == 1
x3+y3+z3=1=91xxx+1×+yyy+1×+zzz==−41
x2+y2+z2

Exercice22:Polynoˆmesd’interpolationdeLagrange
Soit (a0 a1     an)∈Kn+1da`xdxueuednd.Ofin´etiistsncturuottiopi∈[0 n]]
Y(X−aj)
Lj;j6=i
i=Y(ai−aj)
j;j6=i

1. Observez que pour touti∈[1 n]], on aLi(aj) =δij
Notation :le symbole de Kroneckerδijvaut 1 sii=jet 0 sinon.
2. Montrez que pour toutP∈Kn[X], on a :

n
P(X) =XP(ai)Li(X)
i=0

Exercice23:PolynˆomesdeFibonacci
Soit (Pn)n∈Ndepolynˆlasuite:nsioatelsrelrapeinfie´dsemo

P0= 0 P1= 1et∀n∈N Pn+2=XPn+1−Pn

1. Montrez que pour tout entiern∈N,Pn1+2= 1 +PnPn+2.
2.D´eduisez-enquepourtoutentiern∈N,PnetPn+1sont premiers entre eux.
3. Montrez que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on a

Pm+n=PnPm+1−Pn−1Pm

4. Montrez que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on a

P GCD(Pm+n Pn) =P GCD(Pn Pm)

Ende´duirequeP GCD(Pm Pn) =P GCD(Pn Pr),o`ur
division euclidienne demparn.
5. Concluez queP GCD(Pn Pm) =Pn∧m.

est le reste de la

Correction

Exercice 2 .—
1. Suivant l’indication fournie, raisonnons parntSye-ysalAn`hsee:

Analyse :supposons queP∈K[X[e´v]efiirP′(X)]2= 4P(X) et notonsn
ledegr´edePitepro-e´´tpoir´gbeselaespr.Lylopsedec(semoˆnsuesqurir´egedrl
positiond(P+Q))nousconduisent`aladiscussionsuivante:
◮sin≤0, alorsP′opeltsensdaetulenomnˆlysecacP ;= 0
◮sin >,0t´e[galil’´eP′(X)]2= 4P(Xtne)ıˆarqune(e2n−1) =n, soit
encoren= 2.
Ainsi, siPrifie[v´eP′(X)]2= 4P(X), alorsPopeltsenemoˆnylubieul,onde
degr´e2.Enparticulier,Ps’cr´esoitlausmrofeP(X) =aX2+bX+c, avec
(a b c)∈K3.
Snyhte`es:soitP(X) =aX2+bX+c, avec (a b c)∈K3olynˆomedepnu
degr´einf´erieuroue´gala`2.Encecas,

4×P(X) =aX2+bX+c
P′(X 2) =aX+b
1×[P′(X)]2= 4a2+ 4abX+b2

Par identification des coefficients, il s’ensuit que
[P′(X)]2= 4P(X)⇐⇒444acb2===b442baa⇐⇒aOUa=ete=01tcc==bb240=
Conclusion :tsp,olleyenmˆeonmfiensalP∈K[Xv]e´irafitn[P′(X)]2=
4P(Xemˆomeolynaforsdelˆnylnemotelupsel)ntsopoleP(X) =X2+
bX+b42`u,ob∈K.
2. la preuve sera paresylanAes:S-nyhte`
Analyse :soitP∈K[X]untiua(onlednqe´’loseoituX2+1)P′′= 6P. Notons
nedrgel´edeP. Alors
◮sin≤1, alorsP′′est nul et doncPaussi ;
◮sin≥e(lit´exl’2,sddeenamadse´rgeage´’lsnX2+ 1)P′′(X) = 6P(X)
n’entraıˆnea prioriaucune relation pourn.
Regardons alors les coefficients dominants:

des

6×P(X) =anXn+,uesre´iretnfsi´egrdedeesrmavecan6= 0
n−1
P′(X) =n anX+  
′
(X2+ 1)×P′(X) =n(n−1)anXn−2+  
Enidentifiantlescoefficientsdominants,ilenr´esultequene´cessairement
ˆ
n(n−1) = 6, ce qui entraınen= 3. 3
Ainsi, siPv´erifie(X2+ 1)P′′(X) = 6P(X) , alorsPfnieire´rueesedtdr´eg

exercices

:e`thnsyeSsoitP(X) =aX3+bX2+cX+d, (a b c d)∈K4ˆnylopnueom
dedegre´inf´erieuroue´gala`3.Alors

(X2+ 1)P′′(X) = (X2+ 1)(6aX+ 2b) = 6aX3+ 2bX2+ 6aX+b
6P(X) = 6aX3+ 6bX2+ 6cX+ 6d

Par identification des coefficients, il s’ensuit que
6a= 6a
(1 +X2)P′′(X) = 6P(X)⇐⇒66cb=62=ab
?