Exercices, corrigés, donnés à l'oral du concours commun Mines Ponts 2012 - 2ème année de CPGE scientifique, voie MP,

Préparation à l’oral Mines-Ponts - MP

1.

2.

I) Soitfde classeC1sur[1+∞[, à valeurs dansR, vérifiantf(1) = 1etf0(t () =f(t)1)2+t2.
Montrer quefadmet une limitel≤1 +π4en+∞.
II) SoientAetBnon nulles dansM3(C)telles queA2=B2= 0. Montrer queAetBsont semblables.
Est-ce aussi le cas dansM4(C)?
Mines-MP
I) L’expression def0prouve quefest croissante, donc∀t≥1 f(t)≥f(1)d’où
∀t≥1 f(t)≤1 +Zt1 +duu2= 1 + arctant−π44=π+ 1.
1
fest croissante et majorée donc admet une limite finielen+∞etl≤4π+ 1.
II) SoituA∈L(C3).A2= 0⇐⇒Im(uA)⊂ker(uA)donc rguA≤3−rguAet rguA6= 0.
On en déduit1≤rguA≤32donc rguA= 1etdim keruA= 2.
Soitx∈keruA.(uA(x))est une famille libre dekeruAqu’on peut compléter en une base(uA(x) y)
dekeruAetB= (uA(x) y x)est une base deC3.
La matrice deuAdansBestT=000000100!etAest semblable àT; de mmeBest semblable
àTdoncAetBsont semblables.
En dimension4, on peut avoirkeruA=ImuA(etAest de rang2) et ImuBest une droite de
keruB(etBest de rang3) doncAetBne sont pas toujours semblables.
I) Soitfdéfini surR2[X]parf(P)(X) = (2X+ 1)P(X) + (1−X2)P0(X).
Déterminer les valeurs et vecteurs propres def.
II) Ensemble de définition def(x) =+X∞1. Est-elle continue ? En donner des équivalents aux bords
nx

n=1
du domaine de définition.
III) SoitA que erune mal 1pX−1Ak=Boù
trice complexe telle que la suite(Ap)soit bornée. Montrp→i+m∞p
k=0
Best un projecteur surker(A−I)parallèlement à Im(A−I).

Mines-MP
I) On remarque quef(R2[X])⊂R2[X](le coefficient deX3est nul) et quefest linéaire.
La solution générale de(E) : (2x+ 1)u+ (1−x2)y0=λysur un intervalle deR\ {−11}est
x7→Kexp( 3−2λln|1−x|+λ+12nl|1 +x|)et siλest une valeur propre defetPun vecteur
propre associé, alors la restriction de la fonction polynômialePà]−11[par exemple est une
−
solution non nulle de(E) il est donc nécessaire quesur cet intervalle ;23λ∈Netλ21+∈N
doncλ+ 1 = 2pavecp∈Net3−2λ= 2−p≥0doncp= 01ou2etλ=−11ou3.
RéciproquementP= (1−X)2vérifief(P) =−P,P= (1−X)(1 +X)vérifief(P) =Pet
P= (1 +X)2vérifief(P) = 3Pdoncfadmet 3 valeurs propres distinctes−113et on a trouvé
une base de chaque sous-espace propre.
1
II) Soitun=x7→.
nx
f(x)n’existe pas six≤1.
fest définie et continue sur]1+∞[. En effet :
– Pour toutn,unest continue sur]1+∞[.
– Soit[a b]un segment de]1+∞[.kunk[∞ab]=n1aest le terme général d’une série convergente,
doncXunconverge normalement sur[a b](CVN locale)
Etude en1+; on encadre le terme général par des intégrales :
Soitx >1.
)≥n+1d
(x)≤Znn−1tdxtet∀Zntxtett7→t1x∈L1([1+∞[)donc
∀n≥2 unn≥1 un(x
Z1+∞tdxt≤f(x)≤1 +Z+1∞tdxtiex1−1≤f(x)≤1 +x−11d’oùf(x)x→∼1+x−11.
Etude en+∞; on utilise le thm de la double limite :
–limu1= 1et∀n≥2limun= 0,
+∞+∞

Oral de Mathématiques Mines-Ponts - Mathilde PETIT - 2013

O19-131

O19-132

Préparation à l’oral Mines-Ponts - MP

3.

4.

–Xunconverge normalement sur un voisinage de+∞. En effet,kunk[2∞+∞[=n12,
d’oùlimf= 1.
+∞
III) Prouvons d’abord queE1= ker(A−I)etE2=Im(A−I)sont supplémentaires :
Soitx∈E1∩E2.Ax=xet∃y x=Ay−y.
Ay=y+x A2y=y+2xet par récurrence immédiate∀p≥1 Apy=y+pxou∀p≥1 x=p(1Apy−y).
On peut choisir surMn(C)etMn1(C)des normesN N0telles queN0(M z)≤N(M)N0(z)pour
tout(M z)∈Mn(C)×Mn1(C).
Alors∀p≥1 N0(x)≤1p(K+ 1)N0(y)doncN0(x) = 0etx= 0.
p−1
Soitup= 1pXAk. Il suffit d’étudierli+m∞up(x)pourx∈E1et pourx∈E2.
p→
k=0
Soitx∈E1.∀p up(x) =xdonclim
p→+∞up(x) =x.
Soitx=Ay−y∈E2;∀k Akx=Ak+1y−Akydonc∀p N0(up(x)) = 1p N0(Apy−y)≤1p(K+1)N0(y)
doncpl→i+m∞up(x) = 0.
I) Déterminer les solutions développables en série entière de l’équationx2y” +xy0+ (x2−1)y= 0.
II) Trouverf, endomorphisme non nul deE, euclidien de dimension4, vérifiant :f4+f= 0trf= 0 f∗=−f2.
Mines-MPO19-133
+∞
I) Soity=x7→XanxnetRle rayon de convergence.
n=0
(1) :(yest solution sur]−R R[)⇐⇒(a∀−1pa0−≥=a210p(=p0−1)ap+pap+ap−2−ap= 0
k
1
donc (1)∀⇒⇐k∈N a2k= 0eta2k+1=4k((k!−1)2()ka+ 1).
a2k+1x2k+1=o( (xk2)!k)pour toutx∈RdoncR= +∞et on a trouvé une infinité de solutions sur
Rde la formex7→a1+X∞(−1)kkx2k++11).
k=04k(k!)2(
II)X4−Xest un polynôme annulateur defdoncsp(f)⊂ {0−1−j−j2}, ie0−1−j−j2sont
valeurs propres defd’ordrek0 k−1 k−j k−j2oùkλ∈[04]etk−j=k−j2puisque l’espace est
réel etk0+k−1+ 2k−j= 4.
De plus trf= 0 =−k−1+ (−j−j2)k−j=−k−1+k−jdonck0+ 3k−1= 4etk−j=k−1.
1er cas :k0=k−1= 1etfa 4 valeurs propres distinctes et pour matriceD=diag(0−1−j−j2)
dans une base convenable, orD26=D∗donc ce cas est à exclure.
2ème cas :k0= 4etfadmet0pour unique valeur propre. Alorsχf=X4doncf4= 0(thm de
Cayley-Hamilton) etf= 0donc ce cas est à exclure.
Le problème n’a donc aucune solution.
I) Soit(an)une suite décroissante de réels positifs. Pourx∈[01]etn≥1, on poseun(x) =anxn(1−x).
Montrer la convergence simple deXunsur[01].
Montrer queXunconverge normalement sur[01]si et seulement siXannconverge.
Montrer queXunconverge uniformément sur[01]si et seulement si(an)converge vers0.
II) Montrer que sinest impair,M∈Mn(R)telle quetM=−Mn’est pas inversible. Etudier le casn
pair.
Mines-MPO19-134
I) Six∈[01[, alors|un(x)| ≤a0xnetun(0) = 0doncXunconverge simplement sur[01].
kunk[0∞1]=unn+n1=an(1 + 1n)−nn+ 1n→+∞necXunconverge normalement sur
1∼andon
[01]ssiXannest une série numérique convergente.
(an)est décroissante minorée par0donc admet une limitel≥0.
∀(x n) Rn(x) =Xuk(x)≥Xlxk(1−x)(lminore lesak k≥n+1) doncRn(x)≥1xn−+1x(1−x) =lxn+1
k>n k>n

Oral de Mathématiques Mines-Ponts - Mathilde PETIT - 2013

Préparation à l’oral Mines-Ponts - MP

5.

donckRnk[0∞1]≥l: pour queXunconverge uniformément sur[01], il est nécessaire quel= 0.
De mme,∀(x n) Rn(x) =Xuk(x)≤Xan+1xk(1−x)(an+1majore lesak k≥n+ 1) donc
k>n k>n
kRnk[0∞1]≤an+1:liman+1=l= 0est une condition suffisante pour queXunconverge unifor-
mément sur[01].
II) Sinest impair, alorsdetM= det(tM) =−detMdoncMn’est pas inversible.
Sinest pair,Mpeut tre non inversible (ex :M= 0) ou inversible (ex :M=−0101).
I) Pour(a θ)∈R2, on poseQ(a θ)+1(nl21=a2−2acosθ).
2π
Etudier l’existence deI(a) =ZQ(a θ)dθpoura∈R.
0
On suppose que|a| 6= 1; trouver une relation entreI(a)etI(a2).
On suppose que|a|<1; calculerI(a).
On suppose que|a|>1; trouver une relation entreI(a)etI(1a)et en déduire la valeur deI(a).
II) SoientEun espace vectoriel de dimensionn,(f1  fp)des endomorphismes deEnon nuls tels que
fi◦fj=δijfi. Montrer quep≤n.
n
Dans le cas oùp=n, montrer queXfi=Id.
i=1
Mines-MP
I)1 +a2−2acosθ= (a−eiθ)(a−e−iθ)donc si|a| 6= 1, alorsQ(a )est continue sur[02π]donc
I(a)existe.
Q(1 θ4sn(in1=l2)2θ2 ) = ln 2 + ln sin 2&#