Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Etudes de fonctions : énoncés

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2012

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Catherine Laidebeure

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01 janvier 2012

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Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Analyse

ETUDES DE FONCTIONS

Exercice 1 Soitfla fonction définie par : f(x)=(x+3)e−x−x+ On désigne par (1 .C) la courbe représentative def. 1) Calculer la limite de la fonctionfen∞. 2) Calculer la limite de la fonctionfen+ ∞. 3) Calculer la dérivéef' de la fonctionf. 4) Calculer les limites de la fonctionf' en+ ∞et en∞. 5) Etudier les variations de la fonctionf' . 6) Montrer que l’équationf'(x)=0 admet une unique solutionα. 7) Justifier que−3< α < −2 . 8) Déterminer le signe def' , puis le tableau de variations def. 9) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse (−1) . 10) Déterminer la nature des branches infinies de la courbe (C). 11) Donner l’allure de la courbe (C). On prendraα ≈ −2,1 etf(α)≈10, 5 .

Exercice 2 (d’après HEC 94) Dans tout le problème,aun réel strictement positif et on étudie la fonctiondésigne fa définie sur ]0,+∞ :[ parfa(x)=1−e−ax.

1) Calculer les limites defaen 0 et en+ ∞. 2) Justifier la dérivabilité defaet calculer sa dérivée. 3) Montrer quef'a(x) est de même signe queha(x)=2 lnx+lna−ax. 4) Etudier les variations de la fonctionhasur ]0,+∞ ses limites en 0 et en[ et+ ∞. 5) Discuter suivant les valeurs deale nombre de solutions de l’équationha(x)=0 . On précisera le signe deha(x) dans chaque cas. Lorsque l’équation admet deux solutions, on les noterar(a) ets(a) avecr(a)<s(a) . 6) En déduire le tableau de variations de la fonctionfaet l’allure de sa courbe représentative dans les casa>e42,a=e42eta<e42. On ne cherchera pas à calculerfa[r(a)] etfa[s(a)] . 7) 0On suppose maintenant que<a<e42et on posem(a)=fa[r(a)] . a) Montrer que :r(a)=ear(a). a b) lDéterminer par encadrementai→m0ar(a l en déduire que) etai→m0ar(a)=1 . c) Déterminer limm a. a→0( ) d) Déterminer un équivalent simple dem(a)+1 .

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