Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Fonctions de deux variables : énoncés

Analyse

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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

Exercice 1
Soithla fonction définie par :h(x,y)=ln1x++xyy.
Montrer que l’ensemble de définitionDdehest un ouvert de2.

Exercice 2
Soitgla fonction définie par :g(x,y)=(x2+y2)xsi (x,y) (0,0) etg(0,0)=1 .
1) Montrer quegest de classeC1sur2− {(0,0)}.
2) Montrer quegest continue en (0,0) .
3) de dérivées partielles d’ordre 1 deEtudier l’existence gen (0,0) .

Exercice 3 (EDHEC 2005 voie E)
Soitf la fonction définie sur2 par :∀(x,y)∈2f(x,y)=xex(y2+1).
On admettra quef est de classeC2sur2.
1) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 def.
2) Montrer quefadmet un seul point critiqueA.
3) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 2 def.
4) En déduire quefadmet un extremum local au pointA. Préciser sa nature et sa valeur.
5) Démontrer que :∀(x,y)∈2f(x,y)≥xex.
6) En étudiant la fonction sur définieparϕ(x)=xex, montrer quefadmet en
Aun extremum global sur2.
Exercice 4 (d’après Ecricome 99 voie E)
Soitfla fonction définie sur2par :f(x,y)=x2−x+xy2−xy.
1) Déterminer les points critiques def.
2) Déterminer les extremums locaux def.
3) Montrer que la fonctionf admet un minimum local au point8,125. Calculer la
valeur de ce minimum.
4) local est un minimum absolu sur l’ouvertMontrer que ce minimum
U=,85+∞×. On pourra pour cela calculerf58+h,12+k.
5) Calculerf(−1,−2) . Que peut-on en conclure ?
Exercice 5 (d’après ESSEC 2000 voie E)
Une entreprise produit des biensBdont la fabrication nécessite :
 un certain volume d’heures de travail désigné parxdans la suite (x>0 ).
 un certain volume d’équipements désigné parydans la suite (y>0 ).
On suppose que la quantité de biensBproduits avec un volume d’heures de travailxet
un volume d’équipementsy est :f(x,y)=xayb oùa etb sont des réels vérifiant
0<a< 01 et<b<1.
On suppose enfin que le coût horaire du travail est égal àu(u>0 ) et le coût unitaire
des équipements est égal àv(v>0 ) decoût de la production à volumes de sorte que le
travail et d’équipementsxetydonnés est :g(x,y)=ux vy.

Analyse 2
Partie A : Etude d’un cas particulier
On suppose (seulement dans cette question) quea=b=12 ,u=4 etv=1 .
1) Construire (en justifiant) sur une même figure (unité 2 cm) les ensembles de points
(x,y) de2vérifiant :
 E1:x>0 ,y>0 etf(x,y)=2 .
E2:x>0 ,y>0 etg(x,y)=8 .

E3:x>0 ,y>0 etg(x,y)=10 .

2) Déterminer les points d’intersection deE1 avecE2 etE3. Interpréter ces points
d’intersection en termes de production et de coût de production.
3) égale à 2, quel est le coût minimalPour une production Kenvisageable ?
4) un coût égal à 8, quelle est la quantité produite maximalePour Qenvisageable ?
Partie B : Optimisation de la quantité produite à niveau de coût donné
On étudie dans cette question la maximisation de la quantité produiteQ=f(x,y)
en supposant que le coût de productiong(x,y)=Kest donné.
1) :Montrer que ce problème équivaut à maximiser la fonction définie par
F(x)=fx,K−vuxpour 0<x<K.
u
2) CalculerF' (x montrer que) etF' (x du signe de) estKa−(a b)ux.
3) En déduire les variations deFet les valeurs dexetyqui permettent d’optimiser la
quantité produiteQ=f(x,y la contrainte de coût) sousg(x,y)=K.
4) En déduire que la quantité produite optimaleQ être obtenue sous la pouvant
contrainte de coûtg(x,y)=Kest de la formeQ=cKa+boùcest une constante
dépendant dea,b,uetvque l’on explicitera. On précisera la forme particulière du
résultat obtenu lorsquea+b=1 .
Partie C : Optimisation du coût à niveau de production donné
On étudie dans cette question la minimisation du coût de productionK=g(x,y)
en supposant que la quantité à produiref(x,y)=Qest donnée.
1) Montrer que ce problème équivaut à minimiser la fonction définie par :
b
=
G(x)gx,xQa1bpourx>0 .
2) Etudier les variations deG les valeurs de etx ety permettent d’optimiser le qui
coût de productionK=g(x,y la contrainte) sousf(x,y)=Q.
3) En déduire que le coût optimalK être obtenu sous la contrainte de pouvant
productionf(x,y)=Q de la forme estK=dQ1 (a+b) oùd une constante est
dépendant dea,b,uetvexplicitera. On précisera la forme particulière duque l’on
résultat obtenu lorsquea+b=1 .
4) Comparer les résultats des parties B et C.
Exercice 6 (EDHEC 1999 voie E)
Pour touta∈−−12,0, on considère la fonctionfade2 dansdéfinie par :
∀(x,y)∈2fa(x,y)=(1+y+xy+ax2)ey
1) a) Calculer les dérivées partielles premières defa.
b) En déduire quefapossède deux points critiques et donner leurs coordonnées.
2) Calculer les dérivées partielles secondes defa.
3) a) Examiner, pour chacun des points critiques, à quelle condition portant sura,
faprésente en ces points un extremum local.

Analyse 3
b) Déterminer, en distinguant trois cas, sifaprésente sur2 un maximum local
ou un minimum local et donner sa valeur en fonction dea.
Exercice 7 (EM Lyon 2004 voie E)
Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes.
La proportion de boules blanches estb, la proportion de boules rouges estr la et
proportion de boules vertes estv. On a donc 0 :<b<1 , 0<r<1 , 0<v<1 et
b+r+v=1 .
On effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête au premier changement de
couleur. Pour chaque entier naturelisupérieur ou égal à 1, on noteBi(respectivement
i etVi) l’événement « lai-ème boule tirée est blanche (respectivement rouge et
verte) ».
On noteXau nombre de tirages effectués. Par exemple, si lela variable aléatoire égale
résultat des tirages estV1,V2,B3, alors la variable aléatoireXprend la valeur 3.

Partie A
1) Préciser les valeurs possibles deX.
2) Montrer que :∀n∈−0,1P(X=k)=(1−b)bk−1+(1−r)rk−1+(1−v)vk−1.
3) Montrer queXpossède une espérance et que :E(X)=1−1b+1−1r+1−1v−2 .

Partie B

On considère la fonction de classeC2sur]0,1× ]0,1 définie par :
∀(x,y)∈ ]0,1×]0,1f(x,y)=1−1+1−1+1+
x y x y
1) Calculer∂∂f(x,y) et∂∂fy(x,y) pour ( toutx,y)]∈0,1× ]0,1 .
x
2) Montrer qu’il existe un seul pointI de]0,1]× lequel0,1 enf est susceptible de
posséder un extremum local et déterminerI.
3) Montrer quefadmet enIun minimum local.
4) Exprimer (X fonction de) enb de etr. Que peut-on dire deE(X) lorsque
b=r=v1 ?
=
3