Méthode N°23: Suites numériques
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
´
TECHNIQUES & METHODES S21
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
´
SUITES NUMERIQUES (II)
´
Equivalents et comparaisons de suites
J’utiliselesequivalentsusuelsetlesr`eglesdecalculsurles´equivalentspourd´eterminerlalimiteouun´equivalent
´
simple d’une suite.
Exercice 1 :uieqlevanemin´zu´Dretetnedun=nn22+−nn1++1n.
reponse :nu∼e−.2
´
Suites classiques
`
Apartirdeladonne´edeconditionsinitialesetd’unerelationder´ecurrence,jesaisreconnaıˆtreunesuitearithme´tique,
g´eom´etrique,arithme´tico-g´´etrique,ouunesuiteRL2.Jepeuxalorsde´terminerl’expressiondutermege´ne´ralen
eom
fonction den.
Exercice 2 :etmrnizeDe´unen fonction denlorsqueu∀0n=∈0N;u1un=+2=1−2un+1−4un.
r´eponse:un= 2nn(4nπ3)
−si .
3
Suitesr´ecurrentesun+1=f(un)
Jesaismettreenœuvrelam´ethoded’e´tuded’unesuiter´ecurrenteu∀0n=∈aN∈Iun+1=f(un) .
1irecretain´ttcoionafelndioitfin´eDf: la suite (un)serunitneena`mraeppramireteerquvuepeleinfiruopeibae´dn
intervalle stable pourf.
´
2Etude du signe de la fonctionh:x7→f(x)−xet des variations def. Les solutions deh(x) = 0 sont les points
fixes def´Jtatluse´rsecetnedsnausenatlbaeduevariationetdesi.eng
. e pres
3peRse´ratneontiapgrquhieedfet deIdj:e`errepenterdesiesstvallte,selbatsnoc“ejes”lisrursieemprrmte.es
`
4led,ecnegrevnocatleenitonomolaiste(asuime`russetsedoe´hl’Adeaie’dne´udertnsej,esr´ecurrlessuitun), ou
des suites extraites (u2n) et (u2n+1).
´u0= 32
Exercice 3 :edetiusrapeinfitu´eezdirgence,limite)lam(notonoeic,noev(∀n∈N un+1=21un+u2n.
re´ponse:(unver)g,con´aenctreoeisstsd2.imetedilneet
En utilisant le´eThsiorccAsedeme`roinissementsF, je sais obtenir des estimations pour la convergence d’une suite
recurrente :
´
Exercice 4 :Soitf:R→Rcnofalfie´dnoitarepni∀x∈R f(x) =3π3cos(x) et (und´efiniepar)u0=a∈Ret la
relationder´ecurrence∀n∈N un+1=f(un). Montrez que∀n∈Nun+1−6π≤3π3na−6π:noes´rpeda’`eprs
sch enne de constanteπdonc strictement contra
le TAFf 3 ctante. itzi 3 De plus, 6est lipπest un point fixe def. En ce cas,∀n∈N|un+1−π6| ≤˛f(un)−f(6π)˛≤
´
3π√3|un−π6|ecurrence.tane´dceuoelaprr.L´eerltsu
Suitesd´efiniesimplicitement
Soitfn:I→R, on note (Enitauno)leq’´fn(x=)eJ.0e´htlema´’tedodemettsaisœuvrreeneinaseledudefid´teui
implicitement par (En) :
1´tedudeefnnuit´eetcontiniravoita
2que(ntreejomoi,nejtcalib`demedude´etha`ia’lEn) a une unique solutionundans l’intervalleI’e.J´endisdula
ore
“de´finition”delasuite(un) :ufnn(∈unI) = 0
3je sais utiliser la stricte monotonie defne´ruopiruntabldremencaenedtunou comparerunetun+1
4je montre alors la convergence de (unme`roe´hteluonosaeled)netulicomparaiisantuneLi-Mo.
Exercice 5 :Soitn∈N⋆.oMquatilo’n´ezquentrex3+nx (= 1En)
admetuneuniqueracinere´ellenot´eeun. Montrez que∀n∈N⋆0≤un≤1ngeeredncaelruqeautna`alocvnetconcl
suite (un).
1
r´eponse:fn(x) =x3+nxest strictement
par encadrement. limnu= 0.
n→+∞
croissante
et
continue
sur
R.+
Th´ `
eoreme
BIJ
2
applies.
fn(0)
≤1≤fn(1n)
entraıne
ˆ
0
≤nu
≤
1n.
Th´eor`eme
de
convergence
