Méthode N°29: Dimension finie

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S26

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn

ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

Calculer la dimension d’un espace vectoriel
SoitEunK-espace vectoriel,F Gdeux sous-espaces vectoriels deE,Fune famille de vecteurs.
Commentd´eterminerladimensiondeE
◮nscoteisanstrddate´medohaleulrea`palpqieladimeneor`emedT´hnois
1je construis une base deB(~e~n) deE.
=e1
2alorsdimE=CardB=n.
◮connais ou je construis un isomorphisme deje Esuervvecapsenleirotceder´ef´erenceF. AlorsdimE=dimF.

Comment determiner la dimension d’un sous-espace vectoriel deE
´
◮SiFrotcevecapse-suorupa´edrenngleietlesesfieineenafimllFde vecteurs, alorsdimF=RgF.

◮nioPvedtnsioi:s´eueatquFanlinatiore:l´eaiu’duayoncilppaenfin´etdeslemeomicFormule du rangpeut
etre utile.
ˆ
◮rage:sidtnieuvearapte´mPoFa:lreai´enilnoitacilppaencimoem’lmigadeu’estd´efinFormule du rangpeut
eˆtreutile.
◮SiE=F+Gs’´lpqieuelec,s’jpas-oupaesededxseualemmmosircemoctmsieodnessquaTthr´eedoirm`een. Si
de plus queFetGsnontmereaiupts´eplla,ssro

dimE=dimF+dimG

◮esstautrD’orhcaspugeeiar´trdoueptrpihancaignarelrenimrete´’dnufemalielF,’duneapplicationliae´n.eri

Sous-espacessupple´mentaires
Commentmontrerquedeuxsevsontsupple´mentaires
J’utilise latnemeriapusve´lpndioseesert´atisiesaecnadrimcfin. Il s’agit de prouver
1FetGs’intersectent transversalement :F∩G={~0E}
2les dimensions deFetGs“eppuste`l”tnedimF+dimG=dimE.
Commeconstruireunsuppl´ementaire
Dans un ev de dim finieEtout sevFospesededs`renc.Pouruironst´lmeusppriseneattjepmmencicoevoiuex
proce´der:
1je construis une baseLdeFelse`rpa’D.tedelabash´eor`eme`etiecnmolp, il existe une familleGde vecteurs de
Etelle que
B=L ∪ Gest une base deE

2je poseG=Vect(G) de sorte que

E=F⊕G

Exercice 1 :On se place dansR3teesusnu´lppnemeirtaeed.D´eterminezunebaF=Vect(~wv~u~uo`),~u= (−110),
v~= (201) etw~= (111).r´es:penoF=Vect(u~v~) carw~=~u+v~. La sous-famille (~u~v) est une base deFmolpe`etO.lncasabenuneedeR1c(eva300).
G=Vect(10ntai´emerede)0sepulputsnF.

Familles de vecteurs en dimension finie
Nousavonsvuauchapitrepr´ec´edent,commentprouverqu’unefamilleestlibreoug´ene´ratrice.LadimensiondeE
donnedesconditi´ssaistre`sutiles.
ons nece re
SoitEunK-e.v. de dimension finien∈N.
Commentmontrerqu’unefamillefinien’estpasg´en´eratriceoulibre
•SiCardG< nalorsGasgestpn’rac,ecirtare´nenest le cardinalminimalurpoefunilam´gele´nertar.eci
´
•SiCardL>dimEalorsLn’est pas libre carnest le cardinalmaximalpour une famille libre.

Commentcomple´terunefamillelibreenunebase
SoitEunKeev-oifininreedidemsn`aunebasapport´eB= (e~1e~n). SoiL= (u~1~up) une famille libre de
vecteurs deEr`es.D’apleeetl`mpedale`emnIocaBes´eorThLelpmocenuneee´ttrˆeutpeebasedeE. En pratique,
´
oncompl`eteLedsrabalesl’`adeaivedeeuctB.

1

Comment montrer qu’une famille est une base
SoitBune famille de vecteurs d’un espace vectorielEde dimension finie et connuen. Laractcaesbssanoedasite´ir
en dimension finieest incontournable. Pour prouver queBest une base deE
1fiire´vejeuqeCard(B) =dim(E) =n.
2je montre queBest libre (maximale).

Exercice 2 :Soita0 a1 dots anndssiitcnstO.nntoe1r+el´eL0,L1, . . .,Lnlesopylˆnmosenietprolateursde
Lagrangerelatifsa`a0 a1 a dotsn. Montrez queL= (L0 L1     Ln) est une base deE=Rn[X].:esnope´rTout d’abord note
queCard(L) =n+ 1 =dimRn[X]. On montre queLest libre. Soit (λ0 λ1     λn) tels que (V)λ0L0 (X) +λ1L1 (X) +∙ ∙ ∙+λLnn(X) = 0. Soitk∈[[0 n]]. Comme
Lj(ka) =jδkulna(tecirmeteenntva´e’j,itbodsneV) enkaquekλ= 0. AinsiLest libre maximale dansEc’est donc une base deE.

Applicationslin´eairesendimensionfinie
Commentmontrerqu’uneapplicationlin´eaireestunisomorphisme
Soitf∈ L(E Fsnoiidemei.ssnnfiLasledroeievtccasexespedeuentrairee´nilnoitacilppane)usednoractcasati´eri
isomorphismes en dim finieest incontournable. Pour prouver quefest un isomorphisme deEsurF.

1jeerv´ueeqifidimE=dimF.
2je montre quef:E→Fit`aestr´eduetserv´ene(ivctjeinuayonnoseuqtnafii{~0E}).
Commentd´eterminerimageetnoyaud’uneapplicationline´aire
Soitf∈ L(E Fun)calippeasurufinieacevnespil´nitnodee´aerinfiioeniotceleiridedsnemnpprat´or`euaenabes
B= (~e1     eneduayonetgemarinemieret).Pourd´f,
~
1te´dejdaborned’ermiKerfmelbe’snselt.’Cevnorotcqe´’itauontielsdesedlusoiellef(x~) =~usenabesne´ddeiu0.J’
L= (~u1 ~ ) deKerf.
   up
2d’une part, je sais que l’image defenng´edrteesdsseamegelisperadeeursvectB.

Imf=Vect(f(e~1)     f(~en))

D’autrepart,jesaisd’apr`eslaFormule du rangqueImfest de dimensionn−p. J’obtiens une base deImfen
choisissantn−pinslurtemereai´epe´dnitnpstnadneivmrcaef(e~1)     f(e~n).
−1 1 1
Exercice 3 :yaudel’egeetlenoenlzi’am´DtereimemsihpromodnfdeR3asntmeueiqonancae´`eosicM=3−2−4
−2 1 3
´ onse :le noyau defra2(ielleengendr´eepaltsiordevetrotce11) doncdim Kerf= 1, doncdim Imf=Rgf= 2. L’image defirleperad(n´rtlepesectolanv−13−2)
repenge

et (1−21) (car c’est une famille libre maximale deImf).

2

