Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Nombres premiers entre eux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Nombres premiers entre

eux

Exercice 1[ 01202 ][correction]
Soientaetbpremiers entre eux.
Montrer quea∧(a+b) =b∧(a+b) = 1puis(a+b)∧ab= 1.

Exercice 2[ 01203 ][correction]
Soienta b∈Z.
a) On supposea∧b= 1. Montrer que(a+b)∧ab= 1.
b) On revient au cas général. Calculer pgcd(a+bppcm(a b)).

Exercice 3[ 01204 ][correction]
Montrer que pour toutn∈N?on a :

a)(n2+n)∧(2n+ 1) = 1

b)(3n2+ 2n)∧(n+ 1) = 1

Exercice 4[ 01205 ][correction]
Montrer que pour tout entiern∈N?,n+ 1et2n+ 1sont premiers entre eux.
En déduire quen+ 1|2nn!.

Exercice 5[ 01206 ][correction]
Soientaetbpremiers entre eux etc∈Z.
Montrer que pgcd(a bc) =pgcd(a c).

Enoncés

Exercice 6[ 01207 ][correction]
Soientaetbdeux entiers premiers entre eux non nuls.
Notre but est de déterminer tous les couples(u v)∈Z2tels queau+bv= 1.
a) Justifier l’existence d’au moins un couple solution(u0 v0).
b) Montrer que tout autre couple solution est de la forme(u0+kb v0−ka)avec
k∈Z.
c) Conclure.

Exercice 7[ 01208 ][correction]
a) Pourn∈N, montrer qu’il existe un couple unique(an bn)∈N2tel que
(1 +√2)n=an+bn√2

b) Calculeran2−2bn2.
c) En déduire queanetbnsont premiers entre eux.

Exercice 8[ 01209 ][correction]
Soientaetbdeux entiers relatifs premiers entre eux etd∈Nun diviseur deab.
Montrer
∃!(d1 d2)∈N2,d=d1d2 d1|aetd2|b

Exercice 9[ 01210 ][correction]
On note div(n)l’ensemble des diviseurs positifs d’un entiern∈Z.
Soienta b∈Zpremiers entre eux etϕ:div(a)×div(b)→Ndéfinie par
ϕ(k `) =k`.
Montrer queϕréalise une bijection de div(a)×div(b)vers div(ab).

Exercice 10[ 01211 ][correction]
Soientaetbdeux entiers relatifs tels quea2|b2. Montrer quea|b.

Exercice 11[ 01212 ][correction]
Soitx∈Q. On suppose qu’il existen∈N?tel quexn∈Z. Montrer quex∈Z.

1

Exercice 12[ 01213 ][correction]
Soienta b∈N?. On suppose qu’il existem npremiers entre eux tels queam=bn.
Montrer qu’il existec∈N?tel quea=cnetb=cm.

Exercice 13[ 01214 ][correction]
On divise un cercle ennarcs égaux et on joint les points de division depenp
jusqu’à ce qu’on revienne au point de départ. Quel est le nombre de côtés du
polygone construit ?

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Exercice 14[ 01215 ][correction]
On considère la suite(ϕn)n∈Ndéfinie par

a) Montrer

b) En déduire

c) Montrer

d) En déduire

ϕ0= 0 ϕ1= 1et∀n∈N,ϕn+2=ϕn+1+ϕn

∀n∈N?,ϕn+1ϕn−1−ϕn2= (−1)n

∀n∈N?,ϕn∧ϕn+1= 1

∀n∈N∀m∈N?,ϕn+m=ϕmϕn+1+ϕm−1ϕn

∀m n∈N?, pgcd(ϕn ϕm+n) =pgcd(ϕn ϕm)

Enoncés

puis pgcd(ϕm ϕn) =pgcd(ϕn ϕr)oùrest le reste de la division euclidienne dem
parn.
e) Conclure
pgcd(ϕm ϕn) =ϕpgcd(mn)

Exercice 15[ 03624 ][correction]
Soitn∈N. Montrer que les entiers

ai=in! + 1

pouri∈ {1     n+ 1}sont deux à deux premiers entre eux.

Exercice 16[ 03669 ][correction]
On étudie l’équation algébrique

(E) :xn+an−1xn−1+∙ ∙ ∙+a1x+a0= 0

d’inconnuexet où les coefficientsa0 a1     an−1sont supposés entiers.
Montrer que les solutions réelles de(E)sont entières ou irrationnelles.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsd=pgcd(a a+b).
On ad|aetd|(a+b)alorsd|b= (a+b)−adoncd|pgcd(a b) = 1puisd= 1.
De mme pgcd(b a+b) = 1. Ainsia∧(a+b) =b∧(a+b) = 1et par suite
ab∧(a+b) = 1
.

Exercice 2 :[énoncé]
a) pgcd(a a+b) =pgcd(a b)et pgcd(b a+b) =pgcd(a b) = 1.
Ainsi(a+b)∧a= 1et(a+b)∧b= 1donc(a+b)∧ab= 1.
b) Posonsδ=pgcd(a b). On peut écrirea=δa0etb=δb0aveca0∧b0= 1.
pgcd(a+bppcm(a b)) =δpgcd(a0+b0ppcm(a0 b0)) =δ

Exercice 3 :[énoncé]
a)n2+n=n(n+ 1).
1×(2n+ 1)−2×n= 1donc(2n+ 1)∧n= 1.
2×(n+ 1)−1×(2n+ 1) = 1donc(2n+ 1)∧(n+ 1) = 1
Par produit(2n+ 1)∧(n2+n) = 1.
b)3n2+ 2n=n(3n+ 2).
1×(n+ 1)−1×n= 1doncn∧(n+ 1) = 1.
3×(n+ 1)−1×(3n+ 2) = 1donc(3n+ 2)∧(n+ 1) = 1.
Par produit(3n2+ 2n)∧(n+ 1) = 1.

Exercice 4 :[énoncé]
2×(n+ 1)−1×(2n+ 1) = 1donc(n+ 1)∧(2n+ 1) = 1.
2nn1+1+!=2nn1+1+2nn!donc(n+ 1)2nn11++!= (2n+ 1)2nn!.
Puisque2nn1++1!∈Z, on a(n+ 1)|(2n+ 1)2nn!or(n+ 1)∧(2n+ 1) = 1
2
donc(n+ 1)|nn!.

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsd=pgcd(a bc)etδ=pgcd(a c).

3

Onδ|aetδ|cdoncδ|bcpuisδ|d.
Inversementd|aetd|bc.
Ord∧b= 1card|aeta∧b= 1. Doncd|cpuisd|δ.
Par double divisibilitéd=δ.
Exercice 6 :[énoncé]
a) Théorème de Bézout.
b) Soit(u v)∈Z2un couple solution. On aau+bv= 1 =au0+bv0donc
a(u−u0) =b(v0−v)
On aa|b(v0−v)ora∧b= 1donca|v0−v. Ainsi∃k∈Ztel quev=v0−kaet
alorsa(u−u0) =b(v0−v)donnea(u−u0) =abkpuisu=u0+kb(sachant
a6= 0).
c) Inversement les couples de la forme ci-dessus sont solutions.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Unicité : Si(an bn)et(αn βn)sont solutions alors
an+bn√2 =αn+βn√2

donc

(bn−βn)√2 = (αn−an)

Sibn6=βnalors
√2 =αbnn−−aβn∈Q
ce qui est absurde.
On en déduitbn=βnpuisan=αn
Existence : Par la formule du binôme
n
(1 +√2)n=X√
k=0kn!2k

En séparant les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs, on a
(1 +√2)n=an+bn√2

avec

2petbn=an=X
an=Ep(n=X2)2pn!E((n−1)2)2np+ 1!2p
0p=0

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b) On a

a2n−2bn2= (an+bn√2)an−bn√2

Or en reprenant les calculs qui précèdent
(1−√2)n=an−bn√2

donc
an2−2b2n= (1 +√2)n(1−√2)n= (−1)n
c) La relation qui précède permet d’écrire

anu+bnv= 1avecu v∈Z

On en déduit queanetbnsont premiers entre eux.

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Unicité : Si(d1 d2)est solution alors pgcd(d a) =pgcd(d1d2 a)
Ord2∧a= 1card2|beta∧b= 1, donc pgcd(d1d2 a) =pgcd(d1 a) =d1car
d1|a.
De mmed2=pgcd(d b)d’où l’unicité.
Existence : Posonsd1=pgcd(d a)etd2=pgcd(d b). On ad1|aetd2|b.
d1|aetd2|bdoncd1∧d2= 1cara∧b= 1.
d1|d,d2|detd1∧d2= 1doncd1d2|d.
Inversement : Par l’égalité de Bézout on peut écrired1=u1d+v1aet
d2=u2d+v2bdoncd|d1d2=U d+v1v2abcard|ab.

Exercice 9 :[énoncé]
Sik|aet`|balorsk`|ab. Ainsiϕ(div(a)×div(b))⊂div(ab).
Soitd∈div(ab). Posonsk=pgcd(d a)et`=pgcd(d b). On ak∈div(a),
`∈div(b)etk∧`= 1cara∧b= 1. Commek|d,`|detk∧`= 1on ak`|d. De
plusk=du+avet`=du0+bvdonck`=dU+abVd’oùd|k`et finalement
d=k`. Ainsiϕ(div(a)×div(b)) =div(ab).
Soit(k `)∈div(a)×div(b)et(k0 `0)∈div(a)×div(b). Siϕ(k `) =ϕ(k0 `0)alors
k`=k0`0.
Commek|k0`0etk∧`0= 1on ak|k0. De mmek0|kdonck=k0. De mme
`=`0.
Ainsiϕest injective et finalementϕréalise une bijection de div(a)×div(b)vers
div(ab).

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Exercice 10 :[énoncé]
Supposonsa2|b2.
Posonsd=pgcd(a b). On ad2=pgcd(a b)2=pgcd(a2 b2) =a2doncd=|a|puis
a|b.

Exercice 11 :[énoncé]
On peut