Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Nombres premiers et décomposition primaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Nombres premiers et décomposition primaire

Exercice 1[ 01219 ][correction]
Montrer que les nombres suivants sont composés :
a)4n3+ 6n2+ 4n+ 1avecn∈N?b)n4−n2+ 16avecn∈Z.

Exercice 2[ 01220 ][correction]
Soientaetpdeux entiers supérieurs à 2.
Montrer que siap−1est premier alorsa= 2etpest premier.

Exercice 3[ 03623 ][correction]
Soitnun naturel non nul. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier
strictement compris entrenetn! + 2.

Exercice 4[ 01221 ][correction]
Soitp >3un nombre premier. Montrer que24|p2−1.

Exercice 5[ 01222 ][correction]
Soitpun nombre premier.
a) Montrer
∀k∈ {12     p−1},p|pk!

b) En déduire que

∀n∈Z np≡n[p]

Enoncés

Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665)

Exercice 6[ 01223 ][correction]
SoitE={4k−1k∈N?}.
a) Montrer que pour toutn∈E, il existep∈ P ∩Etel quep|n.
b) En déduire qu’il y a une infinité de nombre premierptel quep=−1

Exercice 7[ 01224 ][correction]
Justifier l’existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

[4].

Exercice 8[ 01225 ][correction]
Soitn∈N, montrer
√n∈Q⇔ ∃m∈N,n=m2
En déduire que√2∈Qet√3∈Q

1

Exercice 9[ 01226 ][correction]
Pourp∈ Petn∈Z, on notevp(n)l’exposant de la plus grande puissance dep
divisantn.
a) Montrer quev2(1000!) = 994.
b) Plus généralement, calculervp(n!). On rappelle que∀x∈R EE(pxp)=E(x).

Exercice 10[ 01227 ][correction]
Soitn∈N\ {01}. Montrer quenest le produit de ses diviseurs non triviaux si, et
seulement si,n=p3avecp∈ Poun=p1p2avecp1 p2∈ Pdistincts.

Exercice 11[ 01228 ][correction]
Soientp∈ Petα∈N?. Déterminer les diviseurs positifs depα.

Exercice 12[ 01229 ][correction]
N
Soitn∈N\ {01}etn=Qpkαksa décomposition primaire.
k=1
Quel est le nombre de diviseurs positifs den?

Exercice 13[ 01230 ][correction]
Soitn∈N\ {01}dont la décomposition primaire est

N
n=Ypαii
i=1

On noted(n)supérieurs ou égaux à 1 dele nombre de diviseurs netσ(n)la
somme de ceux-ci.
Montrer
α
NYNpii+1−1
d(n) =i=Y1(αi+ 1)etσ(n) =i=1pi−1

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Exercice 14[ 01231 ][correction]
Soitσ:Z→Nqui àn∈Zassocie la somme de diviseurs positifs den.
a) Soitp∈ Petα∈N?. Calculerσ(pα).
b) Soienta b∈Zpremiers entre eux.
Montrer que tout diviseur positifddu produitabs’écrit de manière unique
d=d1d2avecd1etd2diviseurs positifs deaetb.
c) En déduire que siaetbsont premiers entre eux alorsσ(ab) =σ(a)σ(b).
d) Exprimerσ(n)en fonction de la décomposition primaire den.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02653 ][correction]
Soitpun nombre premier,p>5. Montrer quep2−1est divisible par24.

Enoncés

Exercice 16[ 03209 ][correction]
Soientn>2etNla somme denentiers impairs consécutifs. Montrer queNn’est
pas un nombre premier.

Exercice 17X PC[ 03351 ][correction]
Soienta b∈N\ {01}etn∈N?
.
On suppose quean+bnest un nombre premier. Montrer quenest une puissance
de 2.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)4n3+ 6n2+ 4n+ 1 = (n+ 1)4−n4= ((n+ 1)2−n2)((n+ 1)2+n2) =
(2n+ 1)(2n2+ 2n+ 1).
Cet entier est composé pourn∈N?car2n+ 1>2et2n2+ 2n+ 1>2.
b)n4−n2+ 16 = (n2+ 4)2−9n2= (n2−3n+ 4)(n2+ 3n+ 4).
De plus les équationsn2−3n+ 4 = 01ou−1etn2+ 3n + 4 = 0,1 ou−1
n’ont pas de solutions car toutes de discriminant négatif. Par conséquent
n4−n2+ 16est composée.

Exercice 2 :[énoncé]
Supposons queap−1premier.
Commeap−1 = (a−1)(1 +a+∙ ∙ ∙+ap−1)on aa−1 = 1ou
1 +a+∙ ∙ ∙+ap−1= 1.
Orp>2eta6= 0donc1 +a+∙ ∙ ∙+ap−16= 1. Par conséquenta= 2.
Montrons maintenant quepest premier.
Sid|palors on peut écrirep=cdpuisap−1 = (ad)c−1.
Sid6=palorsc>2puis par le résultat précédent on obtientad= 2puisd= 1.
Ainsi les seuls diviseurs depsont 1 et lui-mme.
Finalementpest premier.

Exercice 3 :[énoncé]
Considérons l’entiern! + 1. Celui-ci est divisible par un nombre premierp
inférieur àn! + 1.
Si ce nombre premierpest aussi inférieur ànalors il divisen!(car apparaît
comme l’un des facteurs de ce produit) et donc il divise aussi1 = (n! + 1)−n!.
Ceci est absurde et donc le nombre premier en question est au moins égal àn+ 1.
Finalement, il est strictement compris entrenetn! + 2.

Exercice 4 :[énoncé]
p2−1 = (p−1)(p+ 1).
Commep>3on apimpair d’oùp= 1ou3 [4].
Sip= 1 [4]alors4|p−1et2|p+ 1.
Sip= 3 [4]alors2|p−1et4|p+ 1.
Dans les deux cas8|p2−1.
Commep >3,pn’est pas multiple de 3 puisquepest premier d’oùp= 1ou
2 [3].

Sip [3]= 1alors3|p−1.
Sip= 2 [3]alors3|p+ 1.
Dans les deux cas3|p2−1.
2
Enfin, comme8∧3 = 1on obtient24|p−1
.

Exercice 5 :[énoncé]
a) On a

donc

pk!=kppk−−11!

kp!=pp−1!

k k−1
Par suitep|kpk!.
Orpest premier etk < pdonck∧p= 1puisp|kp!en vertu du théorème de
Gauss.
b) Par récurrence finie surn∈ {01     p−1}
Pourn= 0: ok
Supposons la propriété établie au rangn∈ {01     p−2}
Par la formule du binôme
(n+ 1)p=np+pkX−11=pk!nk+ 1≡n+ 1 [p]

car pour16k6p−1.

kp!≡0 [p]

Récurrence établie.
Pour toutn∈Z, il exister∈ {01     p−1}tel quen≡r

np≡rp≡r≡n[p]

[p]et

Exercice 6 :[énoncé]
a)nest impair, il n’est donc pas divisible par 2. Si tous les nombres premiersp
divisantnsont tels quep= 1 [4]alorsn= 1 [4]et doncn ∈E

3

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Corrections

b) Supposons qu’il n’y en ait qu’un nombre fini de nombres premiersp1p2   pn.
Considérons
n= 4p1p2   pn−1∈E
Il existep∈ P ∩Etel quep|nmaisp|p1p2   pndoncp|1. Absurde.

Exercice 7 :[énoncé]
Considérons lesxk= 1001! +kavec26k61001. Ce sont 1000 entiers
consécutifs.
Pour tout26k61001, on ak|(1001)!donck|xkavec26k < xkdoncxk∈ P.

Exercice 8 :[énoncé]
(⇐)ok
(⇒)Si√n∈Qalors on peut écrire√n=pqavecp∧q= 1.
On a alorsq2n=p2doncn|p2
De plusq2n=p2etp2∧q2= 1donnep2|n.
Par double divisibilitén=p2.
ni 2, ni 3 ne sont des carrés d’un entier, donc√2∈Qet√3∈Q.

Exercice 9 :[énoncé]
a)v2(1000!) = 500 +v2(500!)car1000! = 2500×500!×kaveckproduit de
nombres impairs.
v27 + 3 + 1 = 994(1000!) = 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + .
b)vp(n!) =Epn+vpEpn!=Enp+EE(pnp)+vpEE(npp)or
EE(ppx)=E(x)avecx=pn2donneEE(np)=Epn2puis finalement
p
vp(n!) =Epn+Epn2+∙ ∙ ∙+Epnkaveck=Ennllpn.

Exercice 10 :[énoncé]
(⇐)clair
(⇒)nest divisible par un nombre premierpet ne peut lui tre égal. On peut
donc écriren=pdavec1< d < n. Sidest premier alors on obtient la seconde
forme. Sinon, il ne peut qu’tre divisible parp(carq|dimplique quenest un
multiple depqdcarnest produit de ses diviseurs non triviaux). Le nombredest
alors de la formed=pk.k= 1etk>3sont à exclure puisquenest le produit de
ses diviseurs non triviaux.