Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Classe de congruence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Classe de congruence

Exercice 1[ 00142 ][correction]
Résoudre les équations suivantes :
a)3x+ 5 = 0dansZ10Z
b)x2= 1dansZ8Z
c)x2+ 2x+ 2 = 0dansZ5Z.

Exercice 2[ 00143 ][correction]
Résoudre les systèmes suivants :
3x
a)(xx≡≡]2][7[61b)(5x≡≡12

[5]
[6]

c)(xx+yy≡≡10[11]4]11[

Exercice 3[ 00145 ][correction]
Soitpun nombre premier etkun entier premier avecp−1.
Montrer que l’applicationϕ:ZpZ→ZpZdéfinie parϕ(x) =xkest bijective.

Exercice 4[ 00146 ][correction]
Soitpun entier premier. Montrer quePxkest égal à 0 ou−1.
x∈ZpZ

Exercice 5[ 00147 ][correction]
Déterminer les morphismes de groupes entre(ZnZ+)et(ZmZ+).

Exercice 6[ 00148 ][correction]
[Théorème de Wilson]
Soitpun nombre premier supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments deZpZqui sont égaux à leurs inverses ?
b) En déduire quepdivise(p−1)! + 1.
c) Montrer que sin>2divise(n−1)! + 1alorsnest premier.

Enoncés

Exercice 7[ 00149 ][correction]
Soitpun nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carrés dansZpZ?
b) On supposep= 1 [4]. En calculant de deux façons(p−1)!, justifier que−1
est un carré dansZpZ.
c) On supposep= 3 [4]. Montrer que−1n’est pas un carré dansZpZ.

Exercice 8Centrale MP[ 02364 ][correction]
Soit un entiern>2. Combien le groupe(ZnZ+) ?admet-il de sous-groupes

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02649 ][correction]
Soit(G )un groupe fini tel que

∀g∈G g2=e

oùeest le neutre deG. On supposeGnon réduit à{e}.
Montrer qu’il existen∈N?tel queGest isomorphe à((Z2Z)n+).

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02660 ][correction]
Sipest un nombre premier, quel est le nombre de carrés dansZpZ?

Exercice 11[ 03218 ][correction]
Soitpun nombre premier. Calculer

p p
X¯ketX¯k2
k=1k=1

Exercice 12[ 03780 ][correction]
Donner l’ensembleGdes inversibles de l’anneauZ20Z.
Montrer que(G×)est isomorphe à(Z2Z×Z4Z+)

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)3x+ 5 = 0⇔x+ 5 = 0⇔x= 5car l’inverse de 3 dansZ10Zest 7.
b) Il suffit de tester les entiers01234. 1 et 3 conviennent. Les solutions sont
1357.
c)x2+ 2x+ 2 = 0⇔x2+ 2x−3 = 0⇔(x−1)(x+ 3) = 0donc les solutions sont
1 et3.
−

Exercice 2 :[énoncé]
a)x≡1 [6]donnex= 1 + 6kqui dans la deuxième équation donne6k= 1 [7].
Or l’inverse de 6 étant 6 on parvient àk [7]= 6i.e.k= 6 + 7`puisx= 37 + 42`
avec`∈Z. Inversement ok.
b)
(53xx≡≡1[[5]2⇔(x≡4 [5]
6]x≡5 [6]

on poursuit comme ci-dessus. Les solutions sont29 + 30`avec`∈Z.
c) Les solutions du système sont solutions de l’équation

z2−4z [11]+ 10 = 0

2
Orz−4z+ 10 =z2+ 7z+ 10 = (z+ 2)(z+ 5)donc les solutions sont−2 = 9et
−5 = 6. On obtient comme solutions les couples(96)et(69).

Exercice 3 :[énoncé]
Par l’égalité de Bézout,

uk−(p−1)v= 1

Considérons alors l’applicationψ:ZpZ→ZpZdéfinie parψ(x) =xu.
On observe
ψ(ϕ(x)) =xku=x×x(p−1)v

Six= 0alorsψ(ϕ(x)) = 0 =x.
Six6= 0alors par le petit théorème de Fermat,xp−1= 1puis

ψ(ϕ(x)) =x×1v=x

Ainsiψ◦ϕ=Id et de mmeϕ◦ψ=Id. On peut conclure queϕest bijective.

Exercice 4 :[énoncé]
Considéronsa∈(ZpZ)?. Il est clair que l’applicationx7→axest une
permutation deZpZdonc
akXxk=X(ax)k=Xxk
x∈ZpZx∈ZpZx∈ZpZ

puis
(ak−1)Xxk= 0
x∈ZpZ
S’il existea∈(ZpZ)?tel queak6= 1alors
Xxk= 0
x∈ZpZ

Sinon,

Xxk= 0 +X1 =p−1 =−1
x∈ZpZx∈(ZpZ)?

2

Exercice 5 :[énoncé]
Notonsx¯les éléments deZnZetˆxceux deZmZ. Posonsd=pgcd(n m).
n=dn0etm=dm0avecn0∧m0= 1. Soitϕun tel morphisme.
nϕ(¯1)=ϕ(n ˆ¯ ¯nc|nϕ(¯1)d’¯
1) =ϕ(n¯) =ϕ(0) = 0domoùm0|ϕ(1).
¯
Ainsiϕ(1) =m0aaveca∈ZmZpuis∀x∈ZnZ ϕ(x) =xm0a.
Inversement, s’il existeatel que∀x∈ZnZ ϕ(x) =xm0aalorsϕest bien définie
carx=y[n]⇒xm0=ym0[m]et c’est clairement un morphisme.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Dans le corpsZpZl’équationx2= 1n’a que pour seules solutions1et
−1 =p−1 [p](éventuellement confondues quandp= 2)
b) Dans le produit(p−1)! = 1×2× ∙ ∙ ∙ ×p−1où l’on retrouve tous les éléments
inversibles deZpZchaque élément, sauf 1 etp−1, peut tre apparier à son
inverse (qui lui est distincts). Par suite(p−1)! =p−1 =−1 [p].
c) Dans(ZnZ+×),1×2×  ×(n−1) =−1donc les éléments12     n−1
sont tous inversibles. Il en découle que(ZnZ+×)est un corps et doncnest
premier.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
a) Considérons l’applicationϕ:x7→x2dansZpZ.
Dans le corpsZpZ:ϕ(x) =ϕ(y)⇔x=±y.
Dans Imϕ, seul 0 possède un seul antécédent, les autres éléments possèdent deux
antécédents distincts. Par suite CardZpZ= 1 + 2(CardImϕ−1)donc il y ap21+
carrés dansZpZ.
b) D’une part, dans le produit(p−1)!calculé dansZpZ, tous les termes qui ne
sont pas égaux à leur inverse se simplifient. Il ne reste que les termes égaux à leur
inverse qui sont les solutions de l’équationx2= 1dansZpZà savoir1et−1.
Ainsi(p−1)! =−1dansZpZ.
D’autre part, en posantn=p−12,
(p−1)! = 1×  ×n×(n+1)×  ×(p−1) = 1×  ×n×(−n)×  ×(−1) = (−1)n(n!)2.
Orp= 1 [4]doncnest pair et−1 = (p−1)! = (n!)2est un carré dansZpZ.
c) Si−1est un carré deZpZ, alors l’applicationx7→ −xdéfinit une involution
sur l’ensemble des carrés deZpZseul 0 est point fixe de cette. Puisque
application, on peut affirmer qu’il y a un nombre impair de carrés dansZpZ. Or
sip [4]= 3,(p+ 1)2est un entier pair,−1ne peut donc tre un carré dans
ZpZ.

Exercice 8 :[énoncé]
On notex¯la classe d’un entierxdansZnZ.
SoitHun sous-groupe deZnZ.
On peut introduire
a= mink >0 k∈H
¯

car toute partie non vide deNpossède un plus petit élément.
Considérons alorsha¯ile groupe engendré par la classe dea. On peut décrire ce
groupe
ha¯i={q¯aq∈Z}

C’est le plus petit sous-groupe contenant l’élément¯acar il est inclus dans tout
sous-groupe contenant cet élément. Par conséquentha¯iest inclus dansH.
Montrons qu’il y a en fait égalité.
¯
Soitk∈H. Par division euclidienne dekpara, on écrit

k=aq+ravecr∈ {0     a−1}

¯
On a alorsk=qa¯ +r¯et donc, par opérations dans le groupeH, on obtient
¯
r¯ =k−q¯a∈H. On ne peut alors avoirr >0car cela contredirait la définition de
¯
a. Il reste doncr= 0et par conséquentk=q¯a∈ h¯ai
Finalement
H=<