Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Enoncés
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie
Exercice 1[ 01625 ][correction]
On considère les vecteurs deR3
Montrer
~u= (111)etv= (10−1)
~
Vect(v~~u) ={(2α α+β2β)|α β∈R}
Exercice 2[ 01626 ][correction]
DansR3, on considèrex~= (1−11)ety~= (01 a)oùa∈R.
Donner une condition nécessaire et suffisante surapour que~u= (112)
appartienne à Vect(~yx~). Comparer alors Vect(~y~x), Vect(~ux~)et Vect(uy~~).
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
{(2α α+β2β)|α β∈R}=Vect(y~~x)avecx~= (210)ety~= (012).
=
On a~u1(x~+~y)etv~=12(x~−y~)donc~~uv∈Vect(~xy~)puis
2
Vect(~u~v)⊂Vect(~x~).
y
Aussi~x=~u+v~ety~=u~−v~donc~~xy∈Vect(~~vu)puis Vect(x~y~)⊂Vect(~~u)
v.
Par double inclusion l’égalité.
Exercice 2 :[énoncé]
λ= 1λ= 1
λ−λ++µaµ=1=2⇔µa=2=12.
u~=~xλ+~µy⇔
Ainsiu~∈Vect(x~~y)⇔a= 12et alorsu~=~x+ 2y~.
x~u∈Vect(y~x~)donc Vect(u~~x)⊂Vect(~y~x).
~
~x~y∈Vect(~yu~)donc Vect(x~~y)⊂Vect(~y~u).
y~~u∈Vect(~xu~)donc Vect(u~~y)⊂Vect(u~x~).
Finalement les trois espaces sont égaux.
2
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