Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Sous-espace vectoriel engendré par une partie
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Sous-espace
vectoriel
engendré
Exercice 1[ 01696 ][correction]
Comparer Vect(A∩B)et Vect(A)∩Vect(B).
par
Exercice 2[ 01697 ][correction]
SoientAetBdeux parties d’unK-espace vectorielE.
Montrer que Vect(A∪B) =Vect(A) +Vect(B).
une
partie
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
A∩B⊂Vect(A)∩Vect(B)et Vect(A)∩Vect(B)est un sous-espace vectoriel
donc Vect(A∩B)⊂Vect(A)∩Vect(B). L’inclusion réciproque n’est pas vraie :
prendreA={u~}etB={2u~}avec~u6=o
~
Exercice 2 :[énoncé]
Vect(A) +Vect(B)est un sous-espace vectoriel deE.
Vect(A) +Vect(B)contient Vect(A)et Vect(B)donc contientAetB.
Ainsi Vect(A) +Vect(B)est un sous-espace vectoriel deEcontenantA∪Bdonc
Vect(A) +Vect(B)contient Vect(A∪B).
Inversement,A⊂A∪Bdonc Vect(A)⊂Vect(A∪B). De mme
Vect(B)⊂Vect(A∪B).
Par suite Vect(A) +Vect(B)⊂Vect(A∪B).
Par double inclusion, l’égalité.
2
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