Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphismes nilpotents
2
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
2
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Publié par
Nombre de lectures
192
Licence :
Langue
Français
Publié par
Nombre de lectures
192
Licence :
Langue
Français
Endomorphismes nilpotents
Thèmes : espaces vectoriels, applications linéaires, dimension finie
Dans tout le problèmedésigneℝouℂ.
Soitun-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
On noteɶl’endomorphisme nul de identité.et Id l’endomorphisme
Pour∈ℕetendomorphisme de, on définit par récurrence l’endomorphismepar :
0=Idet pour tout∈ℕ,+1=.
Un endomorphismedeest dit nilpotent si et seulement s’il existe∈ℕ∗tel que=ɶ.
Notons qu’alors, pour tout entier≥,=ɶ.
1.
1.a
1.b
1.c
2.
2.a
2.b
2.c
2.d
1.
1.a
1.b
1.c
2.
3.
3.a
3.b
3.c
3.d
Partie I Deux exemples
Dans cette question=espace vectoriel desuplets d’éléments de.
Soitϕ:→définie parϕ(1,2,…,)=(0,1,…,−1) .
Justifier queϕest un endomorphisme de.
Déterminer la dimension de l’image et du noyau de l’endomorphismeϕ.
Montrer queϕest nilpotent.
Dans cette question=espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à∈ℕ∗.
Soit:→définie par()=(+1)−() .
Justifier queest un endomorphisme de.
Soit∈.
Déterminer deg() en distinguant les cas selon queest, ou n’est pas un polynôme constant.
Déterminer image et noyau de.
Etablir queest un endomorphisme nilpotent.
Partie II Etude générale
Soitetdes endomorphismes de.
Justifier que siest nilpotent et queetcommutent alorsest nilpotent.
Justifier que siest nilpotent alorsest nilpotent.
On suppose queest nilpotent.
Montrer que l’endomorphisme Id−est inversible.
Soitun endomorphisme nilpotent de.
Justifier l’existence d’un plus petit entier∈ℕ∗tel que=ɶ.
Celui-ci est appelé indice de nilpotence de l’endomorphisme nilpotent, on le noteν() .
Soitun endomorphisme nilpotent de.
L’objectif de cette question est d’établir queν()≤dim.
Pour cela on pose, pour tout∈ℕ,=ker.
Déterminerν().
Montrer que pour tout∈ℕ,⊂+1.
Montrer que s’il existe∈ℕ dimtel que=dim+1, alors pour tout∈ℕ,=.
+
Conclure.
Partie III Commutant d’un endomorphisme nilpotentmaximal
Soitun endomorphisme nilpotent detel queν()=dim.
Pour alléger la suite, nous convenons de noterau lieu deν() l’indice de nilpotence de.
On note() l’ensemble des endomorphismes decommutant avec.
1.
2.
2.a
2.b
2.c
2.d
3.
Montrer que( un sous-espace vectoriel de) est() .
Soit∈() .
Justifier qu’il existe0∈tel que−1(0)≠.
Montrer que la famille de vecteurs=(0,(0),…,−1(0 une base de)) constitue.
On note0,1,…,−1∈les composantes du vecteur(0) dans la base.
Exprimer, pour tout∈ {0,1,…,−1},((0 combinaison linéaire des vecteurs de)) comme.
En déduire que=0Id+1+⋯+1−1.
−
Conclure que()=Vect(Id,,2,…,−1) .
4. Déterminer la dimension de() .
