Sujet : Algèbre linéaire, Etude d'intersections d'hyperplans vectoriels
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Etude d’intersections d’hyperplans vectoriels
Soitun corps etun-espace vectoriel de dimension∈ℕ∗.
1.
1.a
1.b
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
3.d
Partie I Description d’un sous-espace vectoriel en intersection d’hyperplans
Soitetdeux hyperplans de.
On suppose≠. Justifier+=.
Déterminer∩selon que=ou non.
Soitun hyperplan deetun sous-espace vectoriel de.
Déterminer∩selon que⊂ou non.
Soit∈ℕ∗et1,…,des hyperplans de.
Montrer que dim(1∩…∩)≥−.
Soitun sous-espace vectoriel de, distincts de. On pose=.
On se propose d’établir quepeut s’écrire comme intersection de−hyperplans.
Dans un premier temps on suppose≠ {}.
Montrer qu’il existe une base=(1,…,) detelle que∀≤≤∈.
On pose, pour tout∈ {+1,…,},=Vect(1,…,−1,+1,…,) .
Montrer que lessont des hyperplans de.
Observer que=+1∩…∩.
On suppose maintenant que= {}.
Montrer que hyperplans.peut s’écrire comme intersection de
Partie II Décomposition d’un drapeau en interseciton d’hyperplans
On considère un drapeau de, c’est à dire une famille (0,1,…, sous-espaces vectoriels de) detelle
que :
1.
2.a
2.b
2.c
3.a
3.b
(i)∀≤≤ =,
(ii)∀≤≤−⊂.
Préciseret.
Justifier que, pour tout∈ {1,…,},∃∈tel que∉−.
Montrer que=(1,…,) est une base de.
Observer que∀≤≤,=Vect(1,…,) .
Montrer que, pour tout∈ {1,…,}, il existe un hyperplan denoté
=
Observer qu’alors, pour tout∈ {1,…,}:−∩∩.
tel que :−=∩
.
