Sujet : Algèbre linéaire, Etude linéaire des solutions d'une équation différentielle
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Etude linéairedessolutions d’uneéquationdifférentielle
L’objectif de ce problème est de résoudre l’équation différentielle :
( 4)+2( 2)+=0
désigne l’espace vectoriel des fonctions de classe∞surℝet à valeurs dansℝ.
Questions préliminaires :
a. Soitl’application, définie sur, qui à une fonctionassocie sa dérivée′.
Montrer queest un endomorphisme de. Est-ce un automorphisme ?
b. Soitune solution surℝde l’équation( 4)+2( 2)+=0 .
Montrer queest de classe∞surℝ.
On considère le sous-ensembledeconstitué des fonctions de la forme :
֏(+) sin+(+) cosavec,,,réels quelconques.
1.
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
4.
4.a
4.b
4.c
5.a
5.b
5.c
Montrer queest un sous-espace vectoriel dede base=(1,2,3,4) où1:֏sin,
2:֏sin,3:֏coset4:֏cos.
désigne la restriction deau départ de.
Montrer queest un endomorphisme deet calculer les images pardes fonctions constituant la
base.
Déterminer ker. En déduire queest une bijection devers.
Iddésigne l’application identité de.
Déterminer une base et la dimension du noyau et de l’image de2+Id.
En déduire que4+22+Idest l’application nulle de.
Retrouver ainsi queest bijective et calculer−1en fonction de.
On notele sous-espace vectoriel de( par Id) engendréet2.
Justifier que la famille (Id,2) est une base de.
Vérifier queest stable pour le produit de composition des applications.
Soitl’application qui àϕ=αId+β2∈associe(ϕ)=α−β.
Montrer queest une forme linéaire suret que pour toutϕ,ψ∈,(ϕψ)=(ϕ)(ψ) .
Résoudre surℝl’équation différentielle :+′′=0 .
Déterminer le noyau de2+Id.
Montrer que le noyau de (2+Id)2estpuis queest exactement l’espace des solutions de
l’équation différentielle( 4)+2( 2)+=0 .
