Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes de Legendre
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Polynômes de Legendre
Notations
Dans tout le problème,désigne un entier naturel.
On noteℝl’espace vectoriel réel des polynômes réel en l’indéterminéeetℝ
vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal.
On identifiera polynôme et fonctions polynomiales associées définies sur−1,1 .
d
Pour∈ℕ d, on notela dérivéeèmed’un polynôme.
On considère, pour∈ℕ, les fonctions polynomiales définies surpar :
()=(2−1)et()=21d()
. ! d
.
En particulier, avec les conventions usuelles :0()=0()=1
A toute fonction polynomiale, on associe le polynôme() définie surpar :
()()=dd(2−dd1)()
Pour,∈ℝ, on pose (|)=
Partie I
1
()()d.
−1
1. Montrer que (. | .) définit un produit scalaire surℝ.
Dans tout le problème, on supposeℝmuni de ce produit scalaire et on note
associée.
2.
3.
3.a
3.b
3.c
4.
1.a
1.b
1.c
2.
le sous-espace
. la norme euclidienne
Montrer queest un endomorphisme deℝ.
On notela restriction de l’endomorphismeau départ deℝ.
Montrer queest un endomorphisme deℝ.
Calculer(1) ,() et( tout) pour 2≤≤.
Former la matrice de (1,relativement à la base canonique,2,…,) deℝ.
Soit,∈ℝ (. Observer que() |)=(|()) .
Partie II
Calculer directement1,2et3.
Montrer queest exactement de degréet calculer le coefficientdedans.
Justifier que0,1,…,forment une base deℝ.
En utilisant la formule de Leibniz pour cal d( )blir que :
culer : d(−()1+1) , éta
()=21=∑02(−1)−(+1)
et en déduire les valeurs de(1) et(−1) .
3.a
3.b
3.c
4.a
4.b
5.a
5.b
5.c
6.
Vérifier les relations :
(1) :′+1()−2(+1)()=0 ,
(2) : (2−1)′()−2()=0 .
En dérivant+ (1 fois (1) et (2), montrer que la suite :) vérifie
(3) :′+1()=′()+(+1)() ,
(4) :()=(+1).
En exploitant la relation (4) et le résultat de la question I.4, établir que si≠, (|)=0 .
Montrer que pour tout∈ℝ, (+1|)=0 .
En introduisant un polynômede la forme∏(−) montrer que le polynôme+1possède
=1
exactement+1 racines distinctes, toute dans l’intervalle−1,1 .
Montrer que (′+1|)=(+1)+12.
A l’aide d’une intégration par parties, établir que :
En déduire que2=22+. 1
2=2−2
1
.
1( )′( )d
−
Etant donné un polynôme∈ℝetun sous-espace vectoriel deℝ, on note(,) la
distance deau sous-espace vectoriel.
Calculer(+1,ℝ) .
