Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Calcul de polynôme caractéristique

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de polynôme caractéristique b) Justiﬁer que P est un polynôme unitaire de degré n. c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle Exercice 1 [ 00782 ] [correction] P(X) Calculer le polynôme caractéristique de la matrice nQ (X−a )  i 0 1 0 i=1  . . .. . . . .. d) En déduire le déterminant de A+I .n   0 ··· 0 1 a a ··· a0 1 n−1 Exercice 4 CCP MP [ 02493 ] [correction] ?Soient a ,...,a ∈C , tous distincts et P(x) = det(A+xI ) avec1 n n Exercice 2 [ 00784 ] [correction]   0 a ··· aSoient 2 n  .  . a 0 .0 1 0 1 A = .  .. . . .. .    .. . . a1 n A = ∈M (C) et P (x) = det(A −xI )n n n n n  a ··· a 0. . 1 n−1. . . . 1 0 1 0 a) Calculer P(a ) et décomposer en éléments simples la fractioni a) Montrer P(x) P (x) =−xP (x)−P (x) nn n−1 n−2 Q (x−a )i Calculer P (x) et P (x). i=11 2 b) Pour tout x∈ ]−2,2[, on pose x =−2cosα avec α∈ ]0,π[. Montrerque b) En déduire detA. sin((n+1)α) P (x) =n sinα c) En déduire que P (x) admet n racines puis que A est diagonalisable.n n Exercice 3 [ 00785 ] [correction] ?Soient a ,...,a ∈C deux à deux distincts.1 n On pose   0 a ... a2 n  ... . .a 0 .1 P(x) = det(A+xI ) avec A =n  . . .. . . . .. an a ··· a 01 n−1 a) Calculer P(a ).i Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul de polynôme caractéristique

Exercice 1[ 00782 ][correction]
Calculer le polynôme caractéristique de la matrice
 00 1
. .
. .
.. .
a00∙a∙1∙∙∙0∙an1−1

Exercice 2[ 00784 ][correction]
Soient
 00 1
. .
. .
An= 1. .
1
0 .. . . .1.0





∈ Mn(C)etPn(x) = det(An−xIn)


a) Montrer
Pn(x) =−xPn−1(x)−Pn−2(x)
CalculerP1(x)etP2(x).
b) Pour toutx∈]−22[, on posex=−2 cosαavecα∈]0 π[. Montrerque

Pn(x((s)in=sn+inα1)α)

c) En déduire quePn(x)admetnracines puis queAnest diagonalisable.

Exercice 3[ 00785 ][correction]
Soienta1     an∈C?deux à deux distincts.
On pose
0
a1
a.1

P(x) = det(A+xIn)avecA=

a) CalculerP(ai).

a2
0
.
.
.
∙ ∙ ∙

  
.
.
.
.
.
.
an−1

an
.
an
0





Enoncés

b) Justiﬁer quePest un polynôme unitaire de degrén.
c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

P(X)
n
Q(X−ai)
i=1

d) En déduire le déterminant deA+In.

Exercice 4CCP MP[ 02493 ][correction]
Soienta1     an∈C?, tous distincts etP(x) = det(A+xIn)avec
0a2∙ ∙ ∙an

A=


a10.
a.1∙ ∙ ∙a.n.−.1a0n

a) CalculerP(ai)et décomposer en éléments simples la fraction

b) En déduiredetA.

P(x)
n
Q(x−ai)
i=1

Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

P(1) = 1 +nX1−ai
Qn(1−ai)i=1ai
i=1

d) On adet(A+In) =P(1).
Si l’un desaivaut 1, il suﬃt de reprendre la valeur deP(ai).
Sinon, par la décomposition précédente

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Exercice 3 :[énoncé]
a) En factorisant sur laième colonne

En retranchant laième ligne à chacune des autres

avec

Corrections

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Corrections

an
ai

−λ1 0
. .
. .(−1)n+1a0−λ
.. .=
0 −∙ ∙ ∙λ1
a0∙ ∙ ∙an−2an−1−λ[n]

Exercice 1 :[énoncé]
En développant selon la première colonne

(−1)n+1(a0+a1λ+∙ ∙ ∙+an−1λn−1−λn)

puis en reprenant le processus on parvient à

−λ1
. .
. .
.. .
0 −∙ ∙ ∙λ
a1∙ ∙ ∙an−2

On peut aussi résoudre le problème via l’opération élémentaire :
C1←C1+λC2+∙ ∙ ∙+λn−1Cn.

1
an−1−λ[n−1]et donc

n
P(x) =Xε(σ)Yaσ(i)i+xδσ(i)i
σ∈Sni=1
n n
Siσ=IdNnalorsQ aσ(i)i+xδσ(i)i=Q(aii+x)est une expression
i=1i=1
polynomiale unitaire de degrén.
n n
Siσ6=IdNnalorsQ aσ(i)i+xδσ(i)i=Q(aii+x)est une expression
i=1i=1
polynomiale de degré strictement inférieure àn.
On peut donc aﬃrmer quePest une fonction polynomiale unitaire de degré
exactementn.
c) Puisque lesaisont deux à deux distincts

Exercice 2 :[énoncé]
a)Pn(x)déterminant tri-diagonal. On développe selon la première colonneest un
en un déterminant triangulaire et en un second déterminant qu’on développe selon
la première ligne.
P1(x) =−xetP2(x) =x2−1
b) La suite(Pn(−2 cosα))n>1est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. On
introduit l’équation caractéristique associée dont les racines permettent
d’exprimer le terme général de(Pn(x))à l’aide de coeﬃcients inconnus déterminés
par les valeursn= 1etn= 2On peut aussi simplement vériﬁer la relation.
proposée en raisonnant par récurrence double.
c) Lesxk=−2 cosnk+π1aveck∈ {1     n}sont racines distinctes dePn(x).
An∈ Mn(C)possèdenvaleurs propres distinctes doncAest diagonalisable.

P(X)nλi
Qn(X= 1 +XX−ai
−ai)i=1
i=1

b) En utilisant la formule des déterminants



P(ai) =aiY(ai−aj)
j6=i

.
0

=ai

P(ai)

.
0

0
ai−an



ai−a1

P(ai)
Q
λi=(ai−aj) =ai
j6=i

.
a1

P(ai) =ai



.
1

an
.
.

ai
a1
.

1
.
1

1 +i=nX11a−iai!i=nY1(1−ai)

det(A+In) =

b) On en déduit

Exercice 4 :[énoncé]
a) On obtient

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Corrections

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et donc

n
detA=P(0) = (−1)n−1(n−1)Yai
i=1
Notons que l’on peut proposer une démarche plus simple en commençant par
factoriser lesaipar colonnes.

n
=
Qn(xP(x−)ai)1+Xx
i=1
i=1

ai
−ai

est de degrénet unitaire donc

P(ai) =aiY(ai−aj)
j6=i

Voir