Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'une matrice

pour tousa bréels.
a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?
b) Etudier et représenter graphiquement l’ensemble des(a b)∈R2tel que
M(a b)ntend vers 0 quandntend vers∞.

a) Calculer le rang deAdéduire que 0 est valeur propre de. En Aet déterminer la
dimension du sous-espace propre associé.
b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire queAest
diagonalisable.

abbbaa∙∙∙∙∙∙ab
A=a b a∙ ∙ ∙b
.b.a.b∙..∙.∙.a

Exercice 3[ 00792 ][correction]
Soienta b∈R?tels que|a| 6=|b|et

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02705 ][correction]
a b∙ ∙ ∙b b
.
Soita,bdeux réeb a.tB.
ls,A=..e=
b.∙.∙.∙. .b..abab
Réduire ces deux matrices.

a



Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02706 ][correction]
On pose
a2ab ab b2
b) =aab2abbba2b2abab22aaa2bb
M(a

Eléments propres et diagonalisabilité d’une matrice

Diagonaliser les matrices deMn(R)




et

∈ M2n(R)(avecn>2)


Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02704 ][correction]
Déterminer les valeurs propres de la matrice deMn(R)suivante
1111∙ ∙ ∙)1(0
.1 (0)...1

Exercice 1[ 00789 ][correction]
Soientα∈Ret
A=sincosαα−cossinαα∈ M2(K)etB=socnsiαα−oscnsiαα∈ M2(K)

a) On supposeK=C. La matriceAest-elle diagonalisable ?
b) On supposeK=R. La matriceAest-elle diagonalisable ?
c) Mmes questions avecB.

b
.

.
b

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b

b
a
.
.
.
∙ ∙ ∙

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1

∙ ∙ ∙

0

.
0
∙ ∙ ∙

1

0
∙ ∙ ∙

.





∙ ∙ ∙

0

∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙0 1
. .
∙ ∙ ∙1011
∙ ∙ ∙

0
.
0
1

1
.
.
.
1

∙ ∙ ∙

est-elle diagonalisable ?



Enoncés



−b
0
b

0
M=−aa

∈ M3(R)

c
−c
0

[ 02703 ][correction]

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Exercice 2[ 00790 ][correction]
Soienta b c∈R. La matrice


Exercice 4Mines-Ponts MP

.





.
.
1

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Enoncés

Exercice 8Centrale MP[ 01557 ][correction]
Soient(a1     a2n)∈C2netA= (aij)16ij62nla matrice deM2n(C)définie par :
(0)a2n
.
A=A(a1     a2n) =.)
.
a1(0

autrement dit telle queai j= 0sii+j6= 2n+ 1etai2n+1−i=a2n+1−ipour

i= 1    2n.
a) Etude du casn= 2avec le logiciel de calcul formel : créer la matrice
d
A=A(a b c d) =(0)bc
a(0)

et étudier le caractère diagonalisable deAtiaue«sn».leranégéonti
Etudier séparément avec le logiciel les cas particuliers non envisagés en situation
générale.
Vérifier tous les résultats par un étude directe
b) Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetF1     Fpdes
sous-espaces vectoriels stables parutels que

E=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fp

Démontrer une condition nécessaire et suffisante pour queusoit diagonalisable,
faisant intervenir les restrictionsuF1     uFp(où la restrictionuFiest
considérée comme endomorphisme deFi).
c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice
A(a1     a2n)soit diagonalisable.
d) Comment les résultats sont-ils modifiés si la matriceAest réelle et qu’on
étudie si elle est diagonalisable dansM2n(R)?

Exercice 9[ 03123 ][correction]
Monter que la matrice suivante est diagonalisable
0.1 (0)
n..2
A=n−1......∈ Mn+1(C)
. .
.
. . .n
(0) 1 0

(indice : on pourra interpréterAcomme la matrice d’un endomorphisme de
Cn[X])

Exercice 10X PSI[ 03255 ][correction]
Soit
(b)
Mn=0(a)...0∈ Mn(C)

A quelle condition la matriceMnest-elle diagonalisable ?
Déterminer alors une base de vecteurs propres

Exercice 11[ 03283 ][correction]
a) Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice
 00 1
. .
M=. .. . .
a00∙a∙1∙∙∙0∙an1−1

en fonction du polynôme

P(X) =Xn−(an−1Xn−1+∙ ∙ ∙+a1X+a0)

b) Soitλune racine deP. Déterminer le sous-espace propre deMassocié à la
valeur propreλ.
c) A quelle condition la matriceMest-elle diagonalisable ?

Exercice 12CCP MP[ 03767 ][correction]
Considérons la matriceAsuivante :
0 1 0 0
A=110k1100∈ M4(C)
0 1 0 0

1. On supposekréel, la matriceAest-elle diagonalisable dansM4(R)? (sans
calculs) ;
2.a) Déterminer le rang deA.

2

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2.b) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique deAest de la
forme
X2(X−u1)(X−u2)

avecu1,u2appartenant àC?et vérifiant

u1+u2=ketu12+u22=k2+ 6

2.c) Etudier les éléments propres dans le cas oùu1=u2.
2.d) En déduire les valeurs dekpour queAsoit diagonalisable dansM4(C).

Enoncés

Exercice 13CCP MP[ 03433 ][correction]
Pour quelle(s) valeurs dex∈R ?, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable
A=−2−x5−x−+525−xx−3xx

Exercice 14CCP PSI[ 03809 ][correction]
a) Déterminer l’ensembleΩdes réelsatels que
A=1112a1−−−21
1

n’est pas diagonalisable.
b) Poura∈Ω, trouverPinversible telle queP−1AP

soit triangulaire supérieure.

Exercice 15CCP MP[ 02536 ][correction]
Soienta b c dquatre nombres complexes aveca2+b26= 0et
abba−cdcd
−
A=−−dc−cbad−ba

a) CalculerAtA,detAet montrer que rg(A) = 2ou4.
b) On poseα2=b2+c2+d2supposé non nul. Montrer queAest diagonalisable.

Exercice 16CCP MP[ 02522 ][correction]
Soit(a1     an−1)∈Cn−1.
a) Quel est le rang deA∈ Mn(C)définie par
0∙ ∙ ∙0

A=. .
a01∙∙∙∙∙∙an0−1

a1



.?
−1
an0

b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c)A ?est-elle diagonalisable

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)χA(X) = (X−cosα)2+ sin2αde racineseiαete−iα.
Siα6= 0 [π]alorsApossède deux valeurs propres distinctes doncAest
diagonalisable.
Siα= 0 [π]alorsAest diagonale.
b) Siα6 [= 0π]alorsAne possède pas de valeurs propres (réelles) donc n’est pas
diagonalisable.
Siα= 0 [π]alorsAest diagonale.
c)χB(X) = (X−cosα)(X+ cosα)−sin2αde racines±1doncBest
diagonalisable.

Exercice 2 :[énoncé]
On obtient
χM=−X(X2+ (ab+bc+ca))
Posons&