Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'un endomorphisme

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02723 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie etf∈ L(E). On définit
T∈ L(E)→ L(E)par
T(g) =f◦g−g◦f
Montrer que sifest diagonalisable, alorsT siest diagonalisable ;fest nilpotente,
alorsTest nilpotente.

Exercice 4[ 00802 ][correction]
SoientE=Rn[X]et deux réelsa6=b. PourP∈E, on pose

ϕ(P) = (X−a)(X−b)P0−nXP

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a) Montrer queϕest un endomorphisme deE.
b) Déterminer les valeurs propres deϕet en déduire queϕest diagonalisable.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02718 ][correction]
SoitA∈R[X],B∈R[X]scindé à racines simples de degrén+ 1. SoitΦ
l’endomorphisme deRn[X]qui àP∈R[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB. Déterminer les éléments propres deΦ.
L’endomorphismeΦest-il diagonalisable ?

est un endomorphisme de l’espace vectoriel réelE=Rn[X]. Former la matrice de
frelative à la base canonique deE. En déduire la diagonalisabilité defainsi que
ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02722 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie,f∈ L(E)tel quef2=f.
Etudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l’endomorphisme
u7→f u−ufdeL(E).

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02717 ][correction]
DansR3euclidien, on considère deux vecteursaetb, et on pose
f(x) =a∧(b∧x). A quelle condition,fest-elle diagonalisable ?

Exercice 7[ 03015 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé deEet
F:L(E)→ L(E)définie par

F:f7→(21f◦p+p◦f)
a)Fest-elle linéaire ?
b)F ?est-elle diagonalisable
c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés ?

Exercice 3[ 00801 ][correction]
Montrer que l’application

f:P(X)7→(X2−1)P00(X) + 2XP0(X)

Eléments propres
endomorphisme

et diagonalisabilité

d’un

Exercice 6[ 00804 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,f∈ L(E)etF∈ L(L(E))
définie parF(u) =f◦u.
a) Montrer quefest diagonalisable si, et seulement si,Fl’est.
b) Montrer quefetFont les mmes valeurs propres.
c) Soitλune valeur propre def. EtablirdimEλ(F) = dimE×dimEλ(f).

Exercice 5[ 00803 ][correction]
L’endomorphismeφdeMn(R)défini par

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Exercice 2[ 00800 ][correction]
SoitE=Rn[X]. PourP∈E, on poseϕ(P) =P−(X+ 1)P0.
a) Justifier queϕdéfinit un endomorphisme deRn[X].
b) Déterminer les valeurs propres deϕet justifier queϕest diagonalisable.

Exercice 1[ 00799 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finieE.
On suppose que
Im(u−IdE)∩Im(u+IdE) ={0E}
Montrer queuest diagonalisable.

φ(M) =M+tr(M)In

est-il diagonalisable ?

Enoncés

1

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Enoncés

Exercice 12CCP MP[ 03776 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie ete= (e1     en)une base de
E.
On considère l’endomorphismefdeEdéterminé par

n
∀k∈ {1     n} f(ek) =ek+Xei
i=1

a) Donner la matrice defdanse.
b) Déterminer les sous-espaces propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?
d) Calculer le déterminant def. L’endomorphismef ?est-il inversible

Exercice 13CCP MP[ 03582 ][correction]
SoientA Bfixés dansRn[X].
On notefl’application qui, àP∈Rn[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB.
a) Montrer quefest un endomorphisme ? ; est-ce un isomorphisme
b) On suppose dans la suite que les polynômesAetBpremiers entre eux avecB
scindé à racines simples ; donner les valeurs propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?

Exercice 14CCP MP[ 03450 ][correction]
On considère unR-espace vectoriel de dimension finieE,uun endomorphisme de
E,U= (uij)la matrice deudans une base deE,eijles projecteurs associés à
cette base etEijla matrice de ces projecteurs.
On considèreϕl’endomorphisme dansL(E)tel que
ϕ(v) =u◦v
a) Montrer queϕetuont les mmes valeurs propres.
b) CalculerU Eijen fonction desEkj. En déduire qu’il existe une base deL(E)
dans laquelle la matrice deϕest diagonale par blocs.
c) Exprimer cette matrice.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Puisque Im(u−IdE)∩Im(u+IdE) ={0E}, on a

rg(u−IdE) +rg(u+IdE)6dimE

puis par la formule du rang

dim ker(u−IdE) + dim ker(u+IdE)>dimE

On en déduit queuest diagonalisable de valeurs propres possibles1et−1.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) clair, notamment il n’y a pas de problème sur le degré deϕ(P).
b)ϕ(Xk) =Xk−k(X+ 1)Xk−1= (1−k)Xk−kXk−1. La matrice deϕdans la
base canonique deEest triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont
alors les racines du polynôme caractéristique et ce sont donc les valeurs propres de
ϕà savoir10−1    (1−n). Cesn+ 1 = dimEvaleurs sont distinctes doncϕ
est diagonalisable.

Exercice 3 :[énoncé]
L’applicationfest clairement linéaire deR[X]vers lui-mme. De plus, si
degP6n, il est aisé d’observé quedegf(P)6n. On peut donc conclure quef
est un endomorphisme deRn[X]. Pour toutk∈ {0     n},

f(Xk) =k(k+ 1)Xk−k(k−1)Xk−2

ce qui permet de former la représentation matricielle souhaitée. On constate alors
que la matrice defest triangulaire de coefficients diagonaux
0     k(k+ 1)     n(n+ 1)distincts. Il est alors aisé de calculer le polynôme
caractéristique defest de conclure quefest diagonalisable, de valeurs propres
0     k(k+ 1)     n(n+ 1)et de sous-espaces propres de dimension 1.

Exercice 4 :[énoncé]
a) SidegP6n−1, il est clair queϕ(P)∈E.
SidegP=naprès simplification des termes enXn+1, on obtient queϕ(P)∈E.
La linéarité deϕest claire et donc on peut conclure queϕest un endomorphisme.
b) La matrice deϕdans la base canonique est tridiagonale et peu pratique.

Formons plutôt la matrice deϕdans la base des(X−a)k

donc

ϕ((X−a)k) =k(X−a)k(X−b)−nX(X−a)k

ϕ((X−a)k) = (k−n)(X−a)k+1+ (k(a−b)−na)(X−a)k

et cette fois-ci la matrice deϕest triangulaire inférieure à coefficients
diagonaux distincts :

−nb−(a+ (n−1)b)−(2a+ (n−2)b)    −((n−1)a+b)−na

qui sont les valeurs propres deϕ. Puisqueϕadmetn+ 1valeurs propres
distinctes et quedimE=n+ 1, on peut conclure queϕest diagonalisable

Exercice 5 :[énoncé]
SiMappartient à l’hyperplan des matrices de trace nulle alorsφ(M) =Met
doncM∈E1(φ).
Ainsi l’espace propreE1(φ)de dimension au moins égale àest n2−1.
De plus,φ(In) = (n+ 1)Indonc l’espace propreEn+1(φ)est de dimension au
moins égale à 1.
Puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est au moins égale à
n2= dimMn(R), l’endomorphismeφest diagonalisable (et les inégalités
précédentes étaient des égalités).

3

Exercice 6 :[énoncé]
a) SoitPun polynôme.P(F)(u) =P(f)◦udoncP(f) = 0⇔P(F) = 0. La
diagonalisabilité étant équivalente à l’existence d’un polynôme scindé à racines
simples, on peut conclure.
b)fetFont le mme polynôme minimal donc les mmes valeurs propres.
c) Toutu∈ L(E Eλ(f))⊂ L(E)est élément deEλ(F)donc
dimEλ(F)>dimE×dimEλ(f). Mais par diagonalisabilitédimL(E)) =
PdimEλ(F)>dimE