Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Exponentielle de matrice, d'endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Exponentielle de matrice, d’endomorphisme

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 02709 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)avecK=RouCtelle queA4=In. Déterminerexp(A).

Enoncés

Exercice 2[ 03135 ][correction]
Soituun endomorphisme nilpotent d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Etablir
ker (eu−IdE) = keruet Im(eu−IdE) =Imu

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02725 ][correction]
SiA∈ Mn(C), montrer quedet eA= etrA
.

Exercice 4[ 03011 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer queeA∈R[A].

Exercice 5[ 01185 ][correction]
SoitA∈ Mp(K). Etablir que

lim
n→+∞

I+Ann= exp(A)

Exercice 6Centrale MP[ 02416 ][correction]
SoientAetBdansMp(R). Montrer que
nl→im+∞expAnexpBnn= exp(A+B)

Exercice 7X PSI[ 03094 ][correction]
On note
T=a0bca b c∈R

etT+le sous-ensemble deTformé des matrices de coefficients diagonaux
strictement positifs.
a) SoitM∈T. Déterminer les puissances deM. Calculerexp(M).
b) L’applicationexp :T→T+ ? ? surjectiveest-elle injective

Exercice 8[ 03451 ][correction]
SurE=Rn[X], on noteDl’endomorphisme de dérivation etT
de translation définis par

Etablir

D(P) =P0(X)etT(P(X)) =P(X+ 1)

exp(D) =T

1

l’endomorphisme

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
+∞+∞+∞+∞
exp(A) =kP104(=k)!In+kP=0 (4k!)1+1A+k=P0 (4k)!+21A2+k=P0 (4k+)3!1A3donne
exp(A) =cos(1)+2ch(1)In+sin(1)+2sh(1)A+ch(1)−oc(s)12A2+sh(1)−n(si21)A3.

Exercice 2 :[énoncé]
˜
Posonsn∈Ntel queun= 0. On peut écrire

Six∈kerualors

eu=nX−1k!1uk
k=0

n−11
(eu)(x) =Xk!uk(x) =x+ 0 =x
k=0

et donc
x∈ker (eu−IdE)
Inversement, supposonsx∈ker (eu−IdE). On a

Xn1k(x) = 0
k!u
k=1

Siu(x)6= 0alors en posant`>1le plus grand entier tel queu`(x)6= 0et en
composant la relation précédente avecu`−1on obtient

u`(x) = 0

ce qui est absurde.
On en déduitu(x) = 0et doncx∈keru.
Ainsi
ker (eu−IdE) = keru

Puisque
eu−IdE=n−11!uk=u◦n−X1k1!uk−1!
Xk
k=1k=1
on a de façon immédiate
Im(eu−IdE)⊂Imu

Corrections

En vertu de l’égalité des noyaux et de la formule du rang, on peut affirmer

et donc conclure

dimIm(eu−IdE) = dimImu

Im(eu−IdE) =Imu

Exercice 3 :[énoncé]
Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure de la forme
λ01...λ?n
.
exp(A)est alors semblable à une matrice de la forme
exp(0λ1)...exp?(0λn)
d’où la relation.

Exercice 4 :[énoncé]
R[A]un sous-espace vectoriel de l’espace de dimension finieest Mn(R), c’est
donc un espace fermé.eAétant la limite d’une suite d’éléments deR[A], on peut
affirmer queeA∈R[A].

Exercice 5 :[énoncé]
On a
A
I+n=kXn=0(n−kn!!)nkkA!k
n
Posonsfk:N→ Mp(K)définie par

fk(n) = (knn)!!nkAk!ksik6netfk(n) = 0sinon
−

2

On remarque que
n+∞
I+nA=Xfk(n)
k=0
Or∀n∈N,kfk(n)k6kkA!kkdonckfkk∞6kkA!kkqui est terme général d’une série
convergente. Il en découle quePfkconverge normalement surN.

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Orlimfdon le théorème de la double limite :
n→+∞k(n) =kA!kc par

lim+∞I+Ann=k+X=∞0Ak!k= exp(A)
n→

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
On a
expAn=k+X=∞0k!1Ankk=Ip+ 1n A+on1
donc
expAnexpnB=I+n(1A+B) +on1
Ainsi
A
expnexpBnn=I+ 1n(A+B) +on1n
PuisqueIetn1(A+B) +on1commutent, on peut développer par la formule du
binôme de Newton et obtenir :
I+n(1A+B) +on1n=Xnkn!n1k(A+B+o(1))k
k=0

Posonsfk:N?7→ Mp(K)définie par
fk(n) =kn!n1k(A+B+o(1))ksik6netfk(n) = 0sinon

On remarque que

n
I+n1(A+B) +on1=k+X=∞0fk(n)

Montrons la convergence normale de la série desfk.
PuisqueA+B+o(1)→A+B, la norme deA+B+o(1)est bornée par un
certainM.
On observe alorskfkk∞6k1!Mken choisissant une norme multiplicative sur
Mp(K).
La sériePfkconverge normale surN?, cela permet de permuter limite et somme
infinie.

Or, pourkfixé,fk(n)→(A+k!B)kquandn→+∞, donc
+∞
I+n(1A+B) +onn−−−k=0
1n→+−∞→Xk1!(A+B)k

Exercice 7 :[énoncé]
a) Casa=c:
M=0baa,Mn=a0nnaabn−1

a
etexp(M) =0eabeea



Casa6=c:
nαn
Mn=a0cnavecαn=ban−1c0+an−2c+∙ ∙ ∙+a0cn−1=b ana−−ccn

et

exp(M) =e0aexcavecx=b(eaa−−cec)
b) Avec des notations immédiates, siexp(M) = exp(M0)alors par identification
des coefficients diagonaux, on obtienta=a0etc=c0
.
Dans le casa=c, l’identification du coefficient d’indice(12)donne

0
bea=b0ea

0
d’oùb b.
=
Dans le casa6=c, la mme identification donne

b(ea−ec)b0(ea0−ec0)
=
a−c a0−c0
et à nouveaub=b0.
Ainsi l’applicationexp :T→T+est injective.
Considérons maintenant
N=α0βγ∈T+

3

Siα=γalors poura= lnαetb=βα, on obtientM∈Tvérifiantexp(M) =N.
Siα6=γalors poura= lnα,c= lnγetb=β(a−c)(α−γ), on obtient
M∈Tvérifiantexp(M) =N.
Ainsi l’applicationexp :T→T+est surjective.

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Exercice 8 :[énoncé]
Par la formule de Taylor adaptée aux polynômes

a+t) =X!
P(nP(kk)(a)t
k=0

En déduit que l’égalité polynomiale

k

nP(k)(X)
P(X+ 1) =Xk! 1k
k=0

car les deux polynômes sont égaux pour une infinité de valeursa.
On en déduit

(P) =Xnk!1Dk(P) =nXP(k)(X)
exp(D)k! =P(X+ 1)
k=0k=0

Corrections

4

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