Sujet : Analyse, Développements limités, Application à l'étude de suites
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Application à
l’étude
de
suites
Exercice 1[ 01472 ][correction]
Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est :
a)2
√n−
√n+ 1−√n−1
Exercice 2[ 01473 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
a)nli→mnsin1n
∞
b)nli→m∞nsin1nn2
c)nli→m∞n2(n+ 1)1n−n1n
b)ln(n+ 1)−lnn
√n+ 1− √n
c)
n+1√n
Exercice 3[ 01474 ][correction]
Soientaetbdeux réels strictement supérieurs à 1. Déterminer
n
nl→im+∞n√a+2√b!n
Exercice 4
Déterminer
[ 01475 ]
[correction]
nl→i+m∞
3n√2−2n√3n
+ 1−n√n
Enoncés
1
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a)
1
2√n√−n+ 1−√n41n√n
− ∼
Corrections
b)
ln(n+ 1)−lnnln(1 + 1n) 1n2
=∼=
√n+ 1− √n√n(p1 + 1n−1) 12n32√n
n
c)n+1√n+ 1−n√n=eln(nn+1+1)−elnnor
eln(nn+1+)1= 1 + ln(nn+1+12)+1((nlnn)1+)1+261+(ln(nn+11)+)3+o(lnn3n)3
et
donc
elnnn= 1 + lnn12lnnn2+16lnnn3+o(lnn3n)3
+
n
lnn
n+1√n+ 1−n√n=−lnn2n+olnn2n∼ −
n2
Exercice 2 :[énoncé]
nsin1∼n= 1d
a)n noncnli→m∞nsinn1= 1
b)nsin1nn2=en2ln(nsinn1=)e−61+o(1)doncnli→m∞nsinn1n2=
c)n2(n+ 1)1n−n1n=elnnnn2(eln(1+n1n)−1)∼elnnndonc
nli→m∞)1n−n1n= 1
n2(n+ 1
Exercice 3 :[énoncé]
On a
n√a+n√b a1n+b1nelnn+en
alnb
= =
2 2 2
donc
1
.
√6e
= 1 + lna2+nlnb+o(1n)
√ab
n√a+2n√b!n=en(ln(1+lna2+nlnb+o(1n))=elnan2+lb+o(1)→
Exercice 4 :[énoncé]
On a
3n√2−2n√3 = 3e1nln 2−2e1nln 3= 1 + 3 ln 2−n2 ln 3 +o1n
donc
3n√2−2n√3n=enln(3n√2+2n√3)=eln(89)+o(1)→8
9
2
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